18184：マラソン...3分間に1km走ってるところがどこかにある...基本 ^^

嫌われても好きになっちゃうなぁ...^^;

問題18184(友人問)

あるマラソン選手は出発地点から40kmの地点までを

ちょうど2時間で走った。このとき、途中のある3分間で

ちょうど1kmの距離を進んだことを証明せよ。

解答

デジャヴー？

・わたしの...

3x分=X分(X=0～40)

Y=0～40km

のグラフを考えると...

正方形の(0,0)～(40,40)を連続する曲線で結んで表せる...

始点と終点を結ぶ Y=X(傾きが1km/3分)を平行移動すれば、必ず少なくとも1カ所どこかで接する...(平均値の定理)

so...

その部分が題意をみたすポイントね ^^

↑

これではダメのようなのねぇ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

以下の2つの点で，解答にならないように思います．

・「連続する曲線」とありますが，例えば折れ線であることもあり得て，
接線が存在する保証はありません．
・接するところがあったとして，その点は，
「瞬間の速さが1/3(km/分)」を満たす瞬間であり，
問われている内容(ちょうど3分間で1km進む)とは別です．

120分間を3分間ずつの40個に分割する．
各3分間に進んだ距離は，
「1kmより長い」「1kmより短い」「ちょうど1km」のいずれか．

「ちょうど」があれば，題意は成立している．
そうでないとき，「長い」と「短い」は必ず両方とも存在し，
「長い」と「短い」が隣接するケースがあるはず．
この隣接する2つの3分間を合わせた6分間について，
「6分間の開始時刻のt分後からt+3分後までの3分間で進む距離」(0≦t≦3)
をf(t)(単位はkm)とする．
f(t)は連続関数であり，
f(0),f(3)の一方は1より大きく，他方は1より小さいので，
中間値の定理より，f(t)=1となる『t』が0<t<3の範囲に存在する．

以上により示された．

*x軸を分,y軸をkmにして、グラフを描く時、

始点から終点までを結ぶ直線の傾き(=平均)が1/3なので、
その直線を上下に動かす時、x=120～0まで連続で縮めることができるので...
x=3の時に交わる2点が必ずでき,その箇所が題意をみたす部分と言え流と思ったのですが...

・鍵コメT様からのコメント Orz～

「120～0まで連続で縮めることができる」というのが，「平均して3分につき
1kmのペースで進んだことになるx分間を，120～0の任意のxに対してとれる」
という意味だとすると，それは不成立です．

例えば「途中のある90分間で30kmを進んだ」わけではない例として，
・はじめの10分で20km進み，次の100分は停止して，最後の10分で20km進む
場合があります．
(30km進んだところをどう選んでも，必ず停止していた100分が含まれ，
90分間にはできません．)

その時の2点を結べば傾き1/3の直線になりますが，
そのような2点の存在を示すのがこの問題の目標です．

3分間ならそのような2点をとることができますが，
例えば90分間なら，そのような2点はとれないことがあり，
「120～0まで連続的に変化する」わけではありません．

*なんとなくわかりましたぁ ^^;v

厳密に言うのは意外にも面倒なものあるね...Orz～

・友人から届いたもの...^^