18195：旧跡...長方形内の二等辺三角形...

問題18195・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38824751.html#38824751 より Orz～

　長方形ABCDの辺AB上に点Mを辺BC上に点Nを BM＝3√2 ,BN＝4 となるようにとると、

　△DMNは DM＝DN , ∠MDN＝45ﾟの二等辺三角形になりました。

　このとき、△ADM と △CDN の面積の和は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38832983.html より Orz～

[解答1]

　AM＝a ，CN＝c とすれば、AD＝c＋4 ，CD＝a＋3√2 です。

　複素平面上で、D(0)，A(c＋4)，M(c＋4＋ai)，N(c＋(a＋3√2)i)，C((a＋3√2)i) とおけて、

　c＋(a＋3√2)i＝(c＋4＋ai)(cos45ﾟ＋i･sin45ﾟ) 、｛c＋(a＋3√2)i｝√2＝(c＋4＋ai)(1＋i) 、

　(c＋ai)√2＋6i＝(c＋ai)(1＋i)＋4(1＋i) 、(c＋ai)(√2－1－i)＝2(2－i) 、

　(c＋ai)(√2－1－i)(√2＋1＋i)＝2(2－i)(√2＋1＋i) 、2(c＋ai)(1－i)＝2(2－i)(√2＋1＋i) 、

　(c＋ai)(1＋i)(1－i)＝(2－i)(1＋i)(√2＋1＋i) 、2(c＋ai)＝(3＋i)(√2＋1＋i) 、

　c＋ai＝(3＋i)(√2＋1＋i)/2＝(3√2＋2＋4i＋i√2)/2＝3/√2＋1＋2i＋i/√2 、

　c＝1＋3/√2 ，a＝2＋1/√2 です。

　△ADM＋△CDN＝a(c＋4)/2＋c(a＋3√2)/2＝ac＋2a＋3c/√2＝(a＋3/√2)(c＋2)－3√2

　＝(2＋1/√2＋3/√2)(1＋3/√2＋2)－3√2＝(2＋2√2)(3＋3/√2)－3√2

　＝6＋3√2＋6√2＋6－3√2＝12＋6√2 です。

[解答2]

　Aに関してMと対称な点をP ，Bに関してNと対称な点をQ とすれば、DP＝DM＝DN＝DQ だから、

　P，M，N，Q は D を中心とする円周上にありますので、∠MPN＝∠MQN＝∠MDN/2＝45ﾟ/2 、

　45ﾟ/2 の内角をもつ直角三角形の直角を挟む２辺の比は図のように、1：(1＋√2) だから、

　PB＝(1＋√2)BN , QB＝(1＋√2)BM になり、PB･QB＝(3＋2√2)BM･BN 、

　PB･QB/2＝(3＋2√2)BM･BN/2 、△BPQ＝(3＋2√2)△BNM です。

　∠PDQ＝2∠ADC－∠MDN＝2･90ﾟ－45ﾟ＝135ﾟなので、△DPQ＝△DMN であり、

　△BPQ＝四角形DPBQ－△DPQ＝(2△ADM＋2△CDN＋△BNM＋△DMN)－△DPQ

　＝2△ADM＋2△CDN＋△BNM 、

　よって、2△ADM＋2△CDN＋△BNM＝(3＋2√2)△BNM 、

　△ADM＋△CDN＝(1＋√2)△BNM＝(1＋√2)BM･BN/2＝(1＋√2)(3√2)･4/2＝12＋6√2 です。

*Aha!!なる解法ねぇ♪

わたしゃわからず...立式してPCにお願いしましたです...^^;

AD=x,AB=y
x^2+(y-3√2)^2=y^2+(x-4)^2
傾きの和が45°から...tan45°=1より...
(y-3√2)/x+(x-4)/y=1-((y-3√2)/x)*((x-4)/y)
これまたPCにお願いしましたぁ ^^;
条件を満たすものは...
x=5+3/√2
y=2+7/√2
so...
二つの黄色の△の和
={(5+3/√2)(2+7/√2-3√2)+(2+7/√2)(5+3/√2-4)}/2
=12+6√2