18201：2^n+3^n+6^n-1と互いに素であるような正整数は？

問題18201(友人問)

数列a(1),a(2),……..を

a(n)=2^n+3^n+6^n-1　(n=1,2,……..)　で定める

この数列のどの項とも互いに素であるような正整数をすべて決定せよ。

解答

・わたしの...

mod 2で...

1^n-1≡0 で割り切れる

mod 3...

(-1)^n-1はnが偶数で割り切れる

mod 5

2^n+(-2)^n+1^n-1はnが奇数で5で割り切れる

mod 7以上の奇素数では...

上の関係式はできないので,7以上の奇素数、それらの積とは互いに素

でいいのかなぁ...?

↑

ダメあるね ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのなるほどの解答 Orz～

nの偶奇で，「偶数のとき互いに素でない」「奇数のとき互いに素でない」の
どちらの結論も得られないとしても，
それは「どの項とも互いに素」を意味しませんね．

例えば，7の倍数を探すと，a(5)=8050があります．
また，a(4)=1392=(2^4)*3*29 (29の倍数)です．

a(n)の素因数にならない素数pを探す．
a(1)=10よりp=2は条件を満たさず，a(2)=48よりp=3も条件を満たさない．
p≧5のとき，
6a(p-2)=6(2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2)-1)
=3(2^(p-1))+2(3^(p-1))+6^(p-1)-6
について，2^(p-1)，3^(p-1)，6^(p-1)がいずれもpで割って1余ることから，
6a(p-2)はpの倍数であり，これとpと6は互いに素であることから，
a(p-2)はpの倍数．

以上により，
「どんな自然数nに対してもa(n)の素因数にならない素数」はない．

したがって，どの項とも互いに素であるような正整数は1に限る．

*お気に入りぃ～♪