18308：求長...楕円に内接する対角線が焦点を通る□...^^;

問題18308・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38840171.html より Orz～

　楕円に内接する四角形ABCDの対角線AC，BDの交点が焦点Fと一致し、

　FA＝36 ，FB＝42 ，FC＝28 のとき、FD＝？　

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38848851.html#38848851 より Orz～

[解答1]

　焦点Fを通る弦をPQとし、もう１つの頂点をF'，FF'＝c ，長軸の長さを a とします。

　また、FP＝p ，FQ＝q とすれば F'P＝a－p ，F'Q＝a－q です。

　△F'PQ において、スチュワートの定理より、FQ･F'P²＋FP･F'Q²＝PQ･(FF'²＋FP･FQ) ですので、

　q(a－p)²＋p(a－q)²＝(p＋q)(c²＋pq) 、a²q－2apq＋p²q＋a²p－2apq＋pq²＝(p＋q)c²＋p²q＋pq² 、

　(p＋q)a²－4apq＝(p＋q)c² 、(p＋q)(a²－c²)＝4apq 、(p＋q)/(pq)＝4a/(a²－c²) 、

　1/p＋1/q＝4a/(a²－c²) 、1/FP＋1/FQ＝4a/(a²－c²) は一定になります。

　よって、1/FD＋1/FB＝1/FA＋1/FC 、1/FD＝1/FA＋1/FC－1/FB 、

　1/FD＝1/36＋1/28－1/42＝7/252＋9/252－6/252＝10/252＝5/126 、FD＝126/5 です。

[解答2]

　極座標において、楕円の焦点を極，a＞0 として (a，0)において始線に垂直な直線を準線，

　楕円の離心率を e とします。

　楕円上の点 P(r，θ)に対して、Pから準線におろした垂線をPHとすれば、PF＝ePH です。

　PFcosθ＋PH＝a ですので、PFcosθ＋PF/e＝a 、

　楕円の極方程式は、r･cosθ＋r/e＝a 、1/e＋cosθ＝a/r です。

　座標は、A(36，α)，B(42，β)，C(28，α＋π)，D(FD，β＋π) と書けて、

　1/e＋cosα＝a/36 ，1/e＋cosβ＝a/42 ，1/e－cosα＝a/28 ，1/e－cosβ＝a/FD ですので、

　2/e＝a/36＋a/28＝a/42＋a/FD 、1/36＋1/28＝1/42＋1/FD 、

　1/FD＝1/36＋1/28－1/42＝7/252＋9/252－6/252＝10/252＝5/126 、FD＝126/5 です。

*右上の図の△を点対称に描くと...内部に平行四辺形ができると考えて(たまたま？)...

なんとか ^^;

楕円の性質から...Bはもう一方の焦点F'を通る...
so...AF'BFは平行四辺形
AF+AF'=78, so...CF'=50
焦点間の距離xは...
x^2+36^2-2*36*x*t=42^2,x^2+28^2+2*28*x*t=50^2 から...
x=3√130
so...cos角FBF'=tは...
36^2+42^2-2*36*42*t=(3√130)^2 から...t=5/8
so...
FD=a, F'D=b...a+b=78
so...
36^2+(50+a)^2-2*36*(50+a)*(5/8)=b^2=(78-a)^2 から...
a=FD=126/5

*スチュアートの定理...

https://ja.wikipedia.org/wiki/スチュワートの定理より Orz～