18313：x^4+y^4+z^4の値は？...基本 ^^

問題18313・・・http://www.maroon.dti.ne.jp/hashirimedes/mondai5.html より 引用 Orz〜

x + y + z = 3，x² + y² + z² = 5，x³ + y³ + z³ = 7
のとき、 x⁴ + y⁴ + z⁴ の値を求めよ。

解答

・わたしの...

t^3-3t^2+bt+c=0 の3根がx,y,z

x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=3^2-2b=5...so...b=2

f(t)=t^3-3t^2+2t+c=0

f(x)+f(y)+f(z)=x^3+y^3+z^3-3*5+2*5+3c=0

so...3c=-7+15-10=-2...c=-2/3

f(t)=t^3-3t^2+2t-2/3

so...

x^4+y^4+z^4=3(x^3+y^3+z^3)-2(x^2+y^2+z^2)+(2/3)(x+y+z)

                        =3*7-2*5+(2/3)*3

                        =21-10+2

                        =13

^^

↑

ミスってましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

f(x)+f(y)+f(z)は，
x^3+y^3+z^3-3*5+2*5+3cではなく，
x^3+y^3+z^3-3*5+2*3+3xであり，・・・でした ^^;
これが0だから，c=2/3となります．
x^4+y^4+z^4=9が結論です．

なお，より泥臭く，x,y,zを3解にもつ方程式を使わない解法も考えられます．
(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)だから，
xy+yz+zx=2.
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx))=(x^3+y^3+z^3)-3xyzだから，
xyz=-2/3.
(xy+yz+zx)^2=((xy)^2+(yz)^2+(zx)^2)+2xyz(x+y+z)だから，
(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=8.
(x^2+y^2+z^2)^2=(x^4+y^4+z^4)+2((xy)^2+(yz)^2+(zx)^2)だから，
x^4+y^4+z^4=5^2-2*8=9.

*なるほど...後半の方法でも十分計算できましたのね♪

[スモークマン]

＞2:30amの鍵コメT様へ ^^
あれ...^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v