18314：パトナム問題...

問題18314・・・http://www.maroon.dti.ne.jp/hashirimedes/mondai5.html より 引用 Orz〜

単位球面上の長さ２π未満の閉曲線は半球上に横たわることを示せ。（パトナム問題）

解答

・わたしの...

大円の円周の長さが2πなので...

それよりも短い曲線はその円に内接する多角形の辺と円周の間の曲線になる...

so...大円の内部となるので...言えてますよね？

*上記サイトの証明は読んでもよくわからない...^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

スモークマンさんのでは言えていません．
例えば，「平面上の曲線で，長さが2π未満のもの」には，
「長径の半径3，短径の半径0.01の楕円」とかがあり，
これは半径1の円の内部には配置できませんね．

平面上では成立しないことが球面上ではなぜ成立するのかの説明が必要ですし，
「大円に内接する多角形」はそもそも球面上には存在しません．

*難しぃ ^^;...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

ポイントは，
「長さπ未満の曲線は，中心に関して対称な2点を結ぶことができない」
ことにあります．
閉曲線の長さが2π未満のとき，閉曲線上に2点P,Qを，
曲線に沿うPからQまでの長さが2通りのどちらもπ未満となるようにとれます．
このとき，球の中心に関するPの対称点をP'として，
P'とQ(ともに球面上の点)を結ぶ線分の垂直二等分面をZとすると，
Zによる球の断面は大円です．この大円をCとしましょう．

もしPからQに至る曲線(Dとする)がCと共有点Rをもつとすると，
DをZに関して対称に移動した曲線をD'として，
・Dに沿ってPからRまで進み(D上のPからRまでの距離)
・D'に沿ってRからP'まで進む(D上のRからQまでの距離)
ことにより，長さπ未満の距離で，QとQ'が結ばれたことになり，矛盾です．
よって，Dは，2通りのどちらもCとは共有点を持ちません．
これは，閉曲線がCによって区切られる半球に含まれることを意味します．

*熟読玩味ぃ〜^^;...

[スモークマン]

＞11:41pmの鍵コメT様へ ^^
むむっ...^^;
平面に射影して2πに見えるものは、球面上では、それを超えてますよね...
so...逆に、球面上で2π未満のものは、平面の影では大円内に入っちゃいませんかねぇ？...^^;

紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞3:45amの鍵コメT様へ ^^
>球面上で2π未満の長さのものは平面に射影すると2π未満
であれば...その平面は大円なので、半球上に投影されてることになりませんかしら？...^^;...

後半...熟読玩味中...^^;...Orz...

[スモークマン]

＞8:37pmの鍵コメT様へ ^^
アバウトですみません Orz...
半球上に閉曲線があるとき、それをその半球の大円上に射影すると、その大円上に写せる...
大円上に2π以上の閉曲面も半球面上に投影するとその2π以上より大きい閉曲面になる...
ならば、2π未満の閉曲面は、当然、半球面上に存在する。
と言えると考えたのですが...^^;...
論理が怪しいのかなぁ...Orz...

[スモークマン]

＞11:49pmの鍵コメT様へ ^^
確かに ^^;
「大円の平面内の周長が2π以上の閉曲面」のつもりでした...Orz...

貴殿の解説を紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v