18322：確率...1〜nから3枚選んで3枚目がnでなく2枚目が1である...^^;

デザートがなかったからと...帰路各自チョイスす ^^;v

問題18322・・・出会いの泉より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? GAI様提示問 Orz〜

1,2,3,･･･,nの番号をつけたカードが１枚ずつ合計n枚あり
このカードから任意の３枚のカードを取り出し横一列に並べる。
(11)左端のカードが1でない時
　「中央のカードが1である」確率P1は？
(12)左端のカードが1でなく、右端のカードがnでない時
　「中央のカードが1である」確率P2は？
ただしn≧3であるとする。


同じく取り出す枚数を任意の５枚とした場合の
(21)
(22)
での確率はどうなるか？（ただしn≧5であるとする。）

解答

・わたしの...

(11)1/(n-1)

(12)

左端がnのとき...(1/n)(1/(n-1)

左端がn,1でなく、右端がnでないとき...((n-2)/n)((n-3)/(n-1))(1/(n-2))

so...

1/(n(n-1))+(n-3)/(n(n-1))=(n-2)/(n(n-1))

と思ったけど...違うみたい ^^;

・上記サイトより Orz〜

＊らすかる様のもの Orz〜

1枚目を取り出して左端に置き、2枚目を取り出して中央に置き、
3枚目を取り出して右端に置くと考えてよいので、
n(奇数)がいくつでも確率は変わらないと思います。
(1)
1枚目で1以外を引いて残りの1を含むn-1枚から
2枚目で1を引く確率なので、1/(n-1)
(2)
1枚目が1以外かつ3枚目がn以外である確率は
1-1/n-1/n+(1/n){1/(n-1)}=(n^2-3n+3)/{n(n-1)}
2枚目が1かつ3枚目がn以外である確率は
(1/n){(n-2)/(n-1)}=(n-2)/{n(n-1)}
よって求める確率は(n-2)/(n^2-3n+3)

*よくわからない...^^;

・鍵コメT様からのわかりやすい解説頂戴 Orz〜

「1/(n(n-1))+(n-3)/(n(n-1))=(n-2)/(n(n-1))」は，
「左端が1以外，右端がn以外，中央が1」の確率であり，P2ではありません．

具体的に考えてみましょう．
1,2,3,4,5のカードがあるとして，並べ方は全部で5!=120(通り)あります．
このうち，左端が1以外，右端が5以外の並べ方は，
[左端1…4!通り，右端5…4!通り，左端1かつ右端5…3!通り]から，
120-(24+24-6)=78(通り)です．
さらに，左端が1以外，右端が5以外，中央が1の並べ方は，
[中央1…4!通り，中央1かつ右端5…3!通り]から24-6=18(通り)となります．
この場合(つまりn=5の場合)，P2は
「120通りのうち，18通りのどれかが起こる確率」ではなく，
「120通りのうちの78通りが起こったことがわかっている前提で，
18通りのどれかが起こる確率」ですね．
つまり，n=5のときは，P2=18/78=3/13となります．

「左端が1以外，右端がn以外」の確率は，
・「左端がn」(確率1/n)
・「左端が1でもnでもなく，右端がn以外」(確率((n-2)/n)*(n-2)/(n-1))
のどちらかが起こる確率で，
((n-1)+(n-2)^2)/(n(n-1))=(n^2-3n+3)/(n(n-1))となりますね．
これと，スモークマンさんの考察結果の(n-2)/(n(n-1))を見比べれば，
P2=(n-2)/(n^2-3n+3)であることがわかると思います．

*合点です ^^♪

条件付き確率ということでしたのねぇ...

文章だけからは...その差が読み取りづらいものです...^^;...

[スモークマン]

＞11:39pmの鍵コメT様へ ^^
ああ!!
わかりました☆
そうか...掲示板でもその後、「条件付き確率」という言葉が出てました ^^;v
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v