|
p が素数で、２次方程式 x2−(8p−10)x＋p(7p−5)＝0 の解がともに整数のとき、
p の値と そのときの解は？ 解答
上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38852836.html より Orz〜
[解答1]
解の公式により、x＝(4p−5)±√｛(4p−5)2−p(7p−5)｝＝(4p−5)±√(9p2−35p＋25) です。 p＝2 のとき x＝3±3ｉ で適さず、p＝3 のとき x＝7±1＝8，6 です。 p≧5 のとき、ｑを負でない整数として、9p2−35p＋25＝q2 とおけば、 (3p−5)2−q2＝5p 、(3p−5＋q)(3p−5−q)＝5p＞0 になり、3p−5＋q＞0 だから 3p−5−q＞0 、 よって、3p−5＋q≧3p−5−q＞0 、(3p−5＋q，3p−5−q)＝(p，5)，(5p，1) です。 (3p−5＋q，3p−5−q)＝(p，5) のとき、(p，q)＝(3，−1) 不適、 (3p−5＋q，3p−5−q)＝(5p，1) のとき、(p，q)＝(11，27) 、x＝39±27＝66，12 、 まとめて、p＝3 のとき x＝6，8 で、p＝11 のとき x＝12，66 です。 [解答2] 解をα，βとすれば、解と係数の関係により α＋β＝8p−10 ，αβ＝p(7p−5) ですので、 αβ＝p(8p−10−p＋5)＝p(α＋β)−p2＋5p 、(α−p)(β−p)＝5p になり、 ｛α−p，β−p｝＝｛1，5p｝，｛−1，−5p｝，｛5，p｝，｛−5，−p｝ なので、 ｛α，β｝＝｛p＋1，6p｝，｛p−1，−4p｝，｛p＋5，2p｝，｛p−5，0｝ 、 α＋β＝7p＋1，−3p−1，3p＋5，p−5 、 7p＋1＝8p−10，−3p−1＝8p−10，3p＋5＝8p−10，p−5＝8p−10 を解いて、 p＝11，9/11，3，5/7 になり、素数は p＝11，3 です。 p＝11 のとき、x2−78x＋792＝0 、(x−12)(x−66)＝0 、x＝12，66 で、 p＝3 のとき、x2−14x＋48＝0 、(x−6)(x−8)＝0 、x＝6，8 です。 [解答3] x2−｛p＋(7p−10)｝x＋p(7p−10)＝−5p 、(x−p)(x−7p＋10)＝−5p だから、 ｛x−p，x−7p＋10｝＝｛1，−5p｝，｛5p，−1｝，｛5，−p｝，｛p，−5｝ であり、 要素の差を考えれば、(x−p)−(x−7p＋10)＝1＋5p，5p＋1，5＋p，p＋5 、 6p−10＝5p＋1，p＋5 、 p＝11，3 になり、いずれも素数で適します。 p＝11 のとき、x2−78x＋792＝0 、(x−12)(x−66)＝0 、x＝12，66 で、 p＝3 のとき、x2−14x＋48＝0 、(x−6)(x−8)＝0 、x＝6，8 です。 *難しかったわ ^^;
8p-10=a+b
p(7p-5)=a*b p=2 のときは、6=a+b, 18=a*b を満たすものはないので、 p=4m-1 or 4m+1 また、pが奇素数なので、和も積も偶数になることがわかるので、7p-5は4の倍数… p=4m+1のとき、7(4m+1)-5=28m+2 は満たさない… so… p=4m-1のときで考える… (4m-1)(7(4m-1)-5) =(4m-1)(28m-12) =4(4m-1)(7m-3) a=4(4m-1) or 2(4m-1) or 4
a=4(4m-1)=4p… b=4p-10 p(7p-5)=4p(4p-10) 7p-5=16p-40…9p=35…なし a=2(2m-1)=2p… b=6p-10 7p-5=12p-20…5p=15…p=3,a=6,b=8 ☆ a=4… b=8p-10 p(7p-5)=32p-40 7p^2-37p+40=0…整数解なし m=3kのとき… 4(4*3k-1)(7*3k-3) a=6(4k-1) or 12(4k-1) or 12 a=6p… b=2p-10 7p-5=12p-60…5p=55…p=11,a=66,b=12 ☆ a=12p… b=-4p-10 でダメ a=12… b=8p-22 p(7p-5)=12(8p-22) 7p^2-101p+12*22=0 (7p-24)(p-11)=0…p=11 で上に同じ ☆ 結局…(p,m,n)=(3,6,8),(11,12,66)・・・m,nは順不同 |
- >
- Yahoo!サービス
- >
- Yahoo!ブログ
- >
- 練習用
↑
やどかりさんの解答がアップされました♪
2019/1/28(月) 午後 1:36 [ スモークマン ]