18343：証明...どの異なる2つの数についても、それらの平均がそれら2つの数の間にならないように、1〜1000の数を並べることができるか？...^^;

問題18343(友人問...忙しそうで久しぶりに届きました...^^;)

1,2,….,1000の1000個の数を1列に並べ、どの異なる2つの数についても、
それらの（相加）平均はその2つの数の間におかれていないようにできるか。

解答

・わたしの...

実験してみると...

1,2

1,3,2

1,3,2,4

1,5,3,2,4

1,5,3,2,6,4

1,5,7,3,2,6,4

1,9,13,5,7,15,11,3,2,10,14,16,6,8,12,4

のように、並べられそう...

so...

奇数と、偶数とに分けて、小さい順に前後に並べ、

うまく条件を満たすように埋めていけそうなるも...

どう言えばいいのかわからず...^^;

・鍵コメT様からの巧すぎる解法 Orz〜

列A[1]:「1」から始めて，次の規則で列を伸ばします．
・列の各項の2倍-1を順に並べ，改めて列の各項の2倍を順に並べる．

・・・ここの発想はどこから湧き出ちゃうんでしょうかしらん ^^;...

具体的には，
A[2]:「1,2」
A[3]:「1,3,2,4」
A[4]:「1,5,3,7,2,6,4,8」
A[5]:「1,9,5,13,3,11,7,15,2,10,6,14,4,12,8,16」
のように次々に列が作られていきます．

条件「どの異なる2数についてもそれらの平均が2数の間にない」を(*)として，
このようにして作られた列A[n]はすべて(*)を満たします．
(理由)
A[n]に条件(*)を満たさない2数a,bがあったとすると，n≧2であり，
a,bは偶奇が一致するので，
ともに列の前半にあるか，ともに列の後半にあるかです．
すると，A[n-1]も条件(*)を満たさないことになり，順にさかのぼって
A[1]が条件(*)を満たさないことになって，不合理です．

A[11]が1〜1024の列ですが，そこから1001以上の数を取り除いたものが
条件を満たします．

したがって，「できる」．

発想の大きなポイントは，スモークマンさんが書いておられる

「奇数と偶数に分けて」です．

奇数を条件を満たして並べ，偶数を条件を満たして並べれば，
全体として条件を満たす列が得られますね．
そして，奇数だけ，偶数だけを条件を満たして並べることは，
条件を満たす，半分の項数の列があれば，それを元に容易に達成できます．

*「容易に」が曲者なのですけどね...^^;; Orz〜

[スモークマン]

＞0:58amの鍵コメT様へ ^^
なるほどでっす☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v
but...どこからそういう発想が出てくるのかが知りたいなぁ ^^;...

[スモークマン]

＞10:57pmの鍵コメT様へ ^^
なんとなく了解 ^^
追記しておきまっす〜m(_ _)m〜v
貴殿のように「容易に」突破できる頭脳が欲しいですわ ^^;v...