18373：△の垂心と線分の長さ...

問題18373・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38854731.html#38854731 より Orz～

　鋭角三角形ABCにおいて、頂点から対辺への垂線を AD，BE，CF 、△ABCの垂心を H とします。

　AF＝44/15 ，AH＝64/15 ，AE＝56/15 のとき、(FB，HD，EC)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38863333.html より Orz～

[解答1]

　cos∠HAF＝AF/AH＝(44/15)/(64/15)＝11/16 より sin∠HAF＝(3√15)/16 、
　cos∠HAE＝AE/AH＝(56/15)/(64/15)＝7/8 より sin∠HAE＝(√15)/8 、
　cos∠BAC＝cos(∠HAF＋∠HAE)＝cos∠HAFcos∠HAE－sin∠HAFsin∠HAE＝77/128－45/128＝1/4 、
　BAcos∠BAC＝AE だから、BA/4＝56/15 、BA＝224/15 、FB＝BA－AF＝224/15－44/15＝12 、
　CAcos∠BAC＝AF だから、CA/4＝44/15 、CA＝176/15 、EC＝CA－AE＝176/15－56/15＝8 、
　四角形FBDHは円に内接するので、方べきの定理より、AH･AD＝AF･AB 、
　(64/15)AD＝(44/15)(224/15) 、AD＝154/15 、HD＝AD－AH＝154/15－64/15＝6 になって、
　(FB，HD，EC)＝(12，6，8) です。

[解答2]

　△HAFにおいて、HA：AF＝64/15：44/15＝16：11 、三平方の定理より、HA：AF：FH＝16：11：3√15 です。

　△HCD∽△HAF より、HC：CD：DH＝HA：AF：FH＝16：11：3√15 だから、
　HC＝16k ，CD＝11k ，DH＝(3√15)k とします。

　△HAEにおいて、HA：AE＝64/15：56/15＝8：7 、三平方の定理より、HA：AE：EH＝8：7：√15 です。

　AE：EH＝7：√15 から、56/15：EH＝7：√15 、7EH＝56/√15 、EH＝8/√15 です。

　△HBD∽△HAE より、HB：BD：DH＝HA：AE：EH＝8：7：√15＝24：21：3√15 だから、
　HB＝24k ，BD＝21k になり、BC＝BD＋CD＝21k＋11k＝32k です。

　△BCF∽△HAF より、
　BC：CF：FB＝HA：AF：FH＝16：11：3√15＝32：22：6√15 だから、CF＝22k ，FB＝(6√15)k 、

　△CBE∽△HAE より、
　CB：BE：EC＝HA：AE：EH＝8：7：√15＝32：28：4√15 だから、BE＝28k ，EC＝(4√15)k 、
　EH＝BE－BH＝28k－24k＝4k ですので、4k＝8/√15 、k＝2/√15です。

　これで、図中の線分すべての長さが分かったことになり、
　(FB，HD，EC)＝((6√15)k，(3√15)k，(4√15)k)＝(12，6，8) です。

[解答3] 一般化すると(かなり面倒でした)

　AD＝a ，BE＝b ，CF＝c ，FB＝x ，HD＝y ，EC＝z とします。

　四角形FBDH，四角形HDCE は円に内接するので、方べきの定理より、
　AF･AB＝AH･AD＝AE･AC 、a(a＋x)＝b(b＋y)＝c(c＋z)＝k とおくと、
　ax＝k－a² ，by＝k－b² ，cz＝k－c² 、x＝k/a－a ，y＝k/b－b ，z＝k/c－c 、

　メネラウスの定理より、(AH/HD)(DC/CB)(BF/FA)＝1 ，(AH/HD)(DB/BC)(CE/EA)＝1 、
　(AH/HD)(DC/CB)＝FA/BF ，(AH/HD)(DB/BC)＝EA/CD 、辺々加えて、
　(AH/HD)(DC/CB＋DB/BC)＝FA/BF＋EA/CD 、(AH/HD)(DC＋DB)/BC＝FA/BF＋EA/CD 、

　b/y＝a/x＋c/z 、bxz＝ayz＋cxy 、b²axcz＝a²bycz＋c²axby 、
　b²(k－a²)(k－c²)＝a²(k－b²)(k－c²)＋c²(k－a²)(k－b²) 、
　b²k²－a²b²k－b²c²k＋a²b²c²＝a²k²－a²b²k－a²c²k＋a²b²c²＋c²k²－a²c²k－b²c²k＋a²b²c² 、
　(a²＋c²－b²)k²－2a²c²k＋a²b²c²＝0 、

　ここで、△ABCは鋭角三角形だから、a²＋c²－b²＞0 、
　左辺に k＝b² を代入すれば、(a²＋c²－b²)b⁴－a²b²c²＝－b²(b²－a²)(b²－c²)＜0 だから、
　k の２つの解は b² より大きいものと小さいもので、by＝k－b²＞0 より k＞b² だから、大きい方の解が適します。

　(a²＋c²－b²)｛k/(ac)｝²－2ac｛k/(ac)｝＋b²＝0 、
　k/(ac)＝〔ac＋√｛a²c²－(a²＋c²－b²)b²｝〕/(a²＋c²－b²) 、
　k＝ac〔ac＋√｛(b²－a²)(b²－c²)｝〕/(a²＋c²－b²) になります。

　t＝4/15 とおけば、a＝AF＝44/15＝11t ，b＝AH＝64/15＝16t ，c＝AE＝56/15＝14t だから、
　k＝154t²｛154t²＋√(135t²･60t²)｝/(61t²)＝154t²(154＋90)/61＝616t² です。

　(FB，HD，EC)＝(x，y，z)＝(k/a－a，k/b－b，k/c－c)＝(616t²/(11t)－11t，616t²/(16t)－16t，616t²/(14t)－14t)
　＝(56t－11t，77t/2－16t，44t－14t)＝(45t，45t/2，30t)＝15t(3，3/2，2)＝4(3，3/2，2)＝(12，6，8) です。

*なんとか気づけましたわ ^^;

FH=12/√15, HE=8/√15
△BFH~△CEHで...辺の比は3:2
CH=x...
tan角A=FC/AH=(12/√15+x)/(44/15)=(8/√15+(3x/2))/(56/15)
so...x=32/√15
so...EC^2=(32/√15)^2-(8/√15)^2=64...EC=8
so....FB=8*(3/2)=12
so...BH^2=12^2+2^2/15=12^2(1+1/15)=12^2*(16/15)
...BH=48/√15
so...HD=(48/√15)(8/√15)/(64/15)=6

結局...
(FB，HD，EC)=(12,6,8)