18375：2桁の相異なる正整数,積abcの下2桁が99になるMax{a+b+c}=?...クイズ ^^

問題18375(友人問)

a,b,cを2桁の相異なる正整数とする。

積abcの下2桁が99であるとき、a+b+cとしてありうる最大の値を求めよ。

解答

・わたしの...

(90+9)(90-9)=8100-81=8019

19*21==399

(90+3)(90-3)=8100-9=8091

91*19=6399

(90+7)(90-7)=8100-49=8051

51*49=2499

(90+1)(90-1)=8100-1=8099

99*?...なし

so...

80台以下においても同様に考えられるので...

結局...

Max{a+b+c}=97+83+49=229

a*b*c=97*83*49=394499

だと思う ^^

↑

間違ってましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

91*19=1729です．91に2桁の数を掛けて下2桁を99にするには，
91*89=8099とすることになります．
また，3数の積が下2桁99となるとき，3数のうちの2つが
「90±9」とか「90±3」など，「10a±b」のようになる保証はありません．
例えば，61*73*83=369599です．

・・・なるほど ^^;

a=100-x,b=100-y,c=100-zとします．
abc=1000000-10000(x+y+z)+100(xy+yz+zx)-xyzだから，
xyz(=Pとおく)の下2桁が01になる必要があり，
その条件下でx+y+zをできるだけ小さくしたいことになります．
Pの値ごとに，3つの90以下の自然数の積として表せるか考えると，
P=1,P=101(素数)は不適．
P=201=3*67からは，{x,y,z}={1,3,67} (和は71)が得られます，
(「(99*97*33=316899,99+97+33=229」に対応します．)
P=301=7*43からは，{x,y,z}={1,7,43} (和は51)が得られます．
(「(99*93*57=524799,99+93+57=249」に対応します．)

P=401(素数),P=501=3*167,P=601,701(ともに素数)は不適．
P=801=(3^2)*89から{x,y,z}={1,9,89}，P=901=17*53から{x,y,z}={1,17,53}
が得られますが，いずれも和がすでに得たものより大きくなります．

P=1001=7*11*13からは，{x,y,z}={1,13,77}と{x,y,z}={7,11,13}が得られ，
後者は和が31です．
これは，93*89*87=720099,93+89+87=269に対応します．

P=1101=3*367は不適．
P≧1201のとき，(x+y+z)/3>(xyz)^(1/3)≧(1201)^(1/3)>31/3だから，
和が31以下のx,y,zはP≧1201に対しては得られません．

以上より，a+b+cとしてあり得る最大の値は93+89+87=269です．

*合点です ^^;v