18384：論理...条件を満たす表の数の総和...

問題18384・・・http://task.naganoblog.jp/e2334763.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

Z2

Z1

X Y1 Y2

から、Y1=Y2=Z1=Z2

Y1から見たら、その上がZでY1がXとなることなので...

Z==X

so...X=Y=Z になるしかない...

so...

X X @

X X X

X X X

so...3X=1

so...

表の総和=8X+@=(8/3)+@

@は正の実数だから...

総和=8/3+@ > 8/3

^^

↑

x+y+z=1 と思い込んでましたので...これでは証明出来てない可能性がありました...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「Y1=Y2=Z1=Z2」がわかりません．・・・x+y+z=1 のつもりでしたもので...^^;
例えば，各マスに，(次の表の値)/4を書き込んだ場合，
条件は成立していて，Y1=Y2=Z1=Z2は不成立です．
120
212
221

各マスに書き込む数を
ABC
DEF
GHI
とする．

A+G+H≧1，D+G+H≧1，A+G+I≧1，D+G+I≧1より，
合計をとって1/2倍すると，2G+A+D+H+I≧2．…[1]
A+D+E≧1，A+D+F≧1，B+H+I≧1，E+H+I≧1より，
A+D+F，B+H+Iは2倍して合計をとって，3(A+D+H+I)+2(B+E+F)≧6.…[2]
さらに，B+E+F≧1.…[3]
[1]*3+[2]+[3]*4より，
6(G+A+D+H+I+B+E+F)≧16であり，A+B+D+E+F+G+H+I≧8/3. 

*意外と難問でしたのねぇ... ^^;☆

・鍵コメT様からの解説 Orz〜

「どの組み合わせも1以上の時，最小はどの組み合わせも1のときである」
を仮説(*)として，この仮説について考察してみます．

例えば，問題を少し変えて，
「X+Y+Z≧1」ではなく，「10X+Y+Z≧1」としましょう．
この条件下で，9マスの数の和を最小にしたいものとします．
このように変更した問題でも，全体の構造は変わっていませんね．

各マスの数を
ABC
DEF
GHI
としておきます．

仮説(*)が正しいのであれば，最小となるときに，
A+10D+E=A+10D+F=A+10G+H=A+10G+I=1,
B+10E+F=B+10H+I=1,D+10G+H=D+10G+I=1,E+10H+I=1
となって，A=B=D=E=F=G=H=I=1/12
となるので，9マスの和の最小値は，(1/12)*8+0=2/3となるはずです．

ところが実際は，「D=E=G=H=1/10，残りはすべて0」で条件は成立し，
9マスの和は2/5となるので，最小値は2/3ではないことがわかりますね．

((A+G+H)+(D+G+H)+(A+G+I)+(D+G+I))/2≧2,…[1]
2((A+D+F)+(B+H+I))+(A+D+E)+(E+H+I)≧6,…[2]
B+E+F≧1…[3]
から[1]*3+[2]+[3]*4を作ったということは，結局
(3/2)((A+G+H)+(D+G+H)+(A+G+I)+(D+G+I))
+2((A+D+F)+(B+H+I))+(A+D+E)+(E+H+I)+4(B+E+F)≧16としたことになります．

すると，この等号が成り立つとき，
A+G+H,D+G+H,A+G+I,D+G+I,A+D+F,B+H+I,A+D+E,E+H+I,B+E+Fはすべて1
であることがわかります．
つまり，この問題の場合，結果的に
「すべてのマスの数の和が最小の時，X+Y+Zはすべての組合せに対して1」
は成立します．
ただし，そのことを前提とする論理では，証明にならないと思います．

*そういうことになるわけでしたか ^^;...v

[スモークマン]

＞0:05amの鍵コメT様へ ^^
条件から...
X,Y,Zは任意にとっても成り立つので...
Z1+X+Y1=Z1+X+Y2
so...Y1=Y2
同様に...Z1=Z2
となると...Y1=Z1=Xになると考えました...^^; Orz〜

[スモークマン]

＞0:48amの鍵コメT様へ ^^
失礼しました...x+y+z>=1 でしたのね ^^;
x+y+z=1 と思い込んでましたわ ^^;;
でも、逆に、和の最小値である1の場合に言えれば...
証明したことにならないのかしらん...?...Orz〜

[スモークマン]

＞2:25pmの鍵コメT様へ ^^
う〜ん...^^;
どの組み合わせも1以上の時、最小はどの組み合わせも1のときだと思いますが...論駁できませんわ ^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞0:59amの鍵コメT様へ ^^
確かにそうなりますわねぇ ^^;
but...この問題の時、「どの組み合わせも1」でない組み合わせで最小にできる具体例は存在するのでしょうかしらん？...^^;;...Orz〜

[スモークマン]

＞11:18pmの鍵コメT様へ ^^
そっか...^^;
追記させていただきまっす〜m(_ _)m〜v