18410：二つの部分が等しくなるときの定数...

問題18410・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html#38860194 より Orz〜

　0＜a＜16 とし、y＝|x(x−a)| のグラフを G とします。

　原点と グラフG上のｘ座標が16である点を結ぶ線分とグラフGで囲まれる

　２つの部分(水色とピンク)の面積が等しいとき、a＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38868838.html より Orz〜

[準備]

　放物線 y＝x²＋bx＋c と 直線が２点で交わるとき、交点のｘ座標を α，β (α＜β) とすれば、

　囲まれる部分の面積は、 ∫_α^β {−(x−α)(x−β)}dx＝(β−α)³/6 です。

[解答1]

　原点と グラフG上のｘ座標が16である点を結ぶ直線を y＝mx とします。

　y＝mx と y＝x(x−a) の交点のｘ座標は x＝0，a＋m 、

　y＝mx と y＝−x(x−a) の交点のｘ座標は x＝0，a−m 、

　水色の部分の面積は (a−m)³/6 になり、

　ピンクの部分の面積は 交点が(a−m，am−m²)，(a＋m，am＋m²)であることに注意して、

　(am−m²＋am＋m²)･2m/2−(am−m²)m/2−(am＋m²)m/2−m³/6＋m³/6＝am² です。

　よって、am²＝(a−m)³/6 、6am²＝(a−m)³ 、6am²＝a³−3a²m＋3am²−m³ 、

　m³＋3am²＋3a²m＝a³ 、(m＋a)³＝2a³ 、

　a＋m＝16＝2⁴ だから、a³＝(m＋a)³/2＝2¹²/2＝2¹¹ 、a＝2^11/3＝2³･2^2/3＝8･³√4≒12．6992…… です。

[解答2]

　水色の部分にもピンクの部分にも黄色の部分を加えて、水色の部分をｘ軸に関して折り返せば、

　a³/6＝(16³/6)/2 、a³＝16³/2＝2¹²/2＝2¹¹ 、a＝2^11/3＝2³･2^2/3＝8･³√4≒12．6992…… です。

*[解答2]もどきでしたが...遠回りでした ^^;

等積変形で...
-∫[0,a)(x^2-ax) dx
=-a^2/3+a^2/2
=a^3/6

=16*16(16-a)/2-∫[a,16] (x^2-ax)dx
=8*16*(16-a)-(16^3/3-16^2a/2+a^3/6)
=(24-16)*16^2=8*16^2=2^11
so...
a=8*2^(2/3)

[スモークマン]

＞6:49pmの鍵コメY様へ ^^
失礼しました ^^;;
しかも間違ってんだ...^^;;
アップしておきまっす〜m(_ _)m〜

[スモークマン]

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