18439：旧跡...平行四辺形内の△分割...

もう罠というか...罪ですよね ^^;...

問題18439・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html#38864937 より Orz〜

　平行四辺形ABCDの 辺BC上に点Eを 辺CD上に点Fを とります。

　△AEF＝74 ，△CFE＝12 ，△ADF−△ABE＝58 のとき、(△ABE，△ADF)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38873428.html より Orz〜

[解答1]

　BE＝b ，△ABEのBEを底辺とする高さを h ，AD＝d ，△ADFのADを底辺とする高さを g とすれば、

　EC＝d−b ，△FECのECを底辺とする高さは h−g です。

　平行四辺形ABCD＝dh なので、dh−△ADF−△ABE＝△AEF＋△CFE 、

　dh−△ADF−△ABE＝86 と △ADF−△ABE＝58 の和と差をとって、

　dh−2△ABE＝144 ，dh−2△ADF＝28 、dh−bh＝144 ，dh−dg＝28 、(d−b)h＝144 ，(h−g)d＝28 、

　辺々乗じて、(d−b)(h−g)dh＝144･28 、(2△CFE)dh＝144･28 、24dh＝144･28 、dh＝168 です。

　dh−2△ABE＝144 ，dh−2△ADF＝28 より、168−2△ABE＝144 ，168−2△ADF＝28 、

　(△ABE，△ADF)＝(12，70) です。


[解答2]

　△ABC＝△BCD＝△CDA＝S とします。

　△ABE＝△ABC−△ACE＝S−△ACE ，△ADF＝△CDA−△ACF＝S−△ACF になり、

　△ADF−△ABE＝58 だから、(S−△ACF)−(S−△ACE)＝58 、△ACE−△ACF＝58 です。

　また、△ACE＋△ACF＝△AEF＋△CFE＝74＋12＝86 なので、△ACE＝72 ，△ACF＝14 です。 

　次に、△ACE＝(CE/CB)△ABC＝(CE/CB)S ，△ACF＝(CF/CD)△CDA＝(CF/CD)S ，

　△CFE＝(CE/CB)(CF/CD)△BCD＝(CE/CB)(CF/CD)S だから、△CFE･S＝△ACE･△ACF 、

　S＝△ACE･△ACF/△CFE＝72･14/12＝84 、

　(△ABE，△ADF)＝(S−△ACE，S−△ACF)＝(84−72，84−14)＝(12，70) です。


[解答3]

　辺AD上に AP＝BE となる点Pを 辺AB上に AQ＝DF となる点Qを とり、PEとQFの交点をOとします。

　△OQE＝△PQE−△OPQ＝△ABE−△OPQ ，△OFP＝△PQF−△OPQ＝△ADF−△OPQ 、

　また、△OEF＝△CFE＝12 です。

　平行四辺形ABCD＝2(△OPQ＋△OQE＋△OEF＋△OFP)＝△ABE＋△ADF＋△AEF＋△CFE 、

　2(△OPQ＋△ABE−△OPQ＋12＋△ADF−△OPQ)＝△ABE＋△ADF＋74＋12 、

　△ADF＋△ABE＝2△OPQ＋62 になり、△ADF−△ABE＝58 だから、

　△ABE＝△OPQ＋2 ，△ADF＝△OPQ＋60 になり、

　△OQE＝△ABE−△OPQ＝2 ，△OFP＝△ADF−△OPQ＝60 です。

　ここで、△OEF･△OPQ＝△OQE･△OFP だから、12△OPQ＝2･60 、△OPQ＝10 です。

　△OPQ＝10 、(△ABE，△ADF)＝(△OPQ＋2，△OPQ＋60)＝(12，70) です。

*どうやって考えたのか思い出せないという体たらくあるね...^^;

△ADF−△ABE=△AEC-△AFC=58
△AFC+△AEC=74+12=86
so...△AFC=14,△AEC=72
△CFE:△AFC=12:14=6:7
so...BE:EC=1:6
so...△ABE=72*(1/6)=12
so...△ADF=12+72-14=70

[スモークマン]

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