18443：0〜9全ての数字が現れる10桁の数で11111の倍数のものはいくつある？...^^;

問題18443(友人問)

10桁の正の整数の各桁に0以上9以下の全ての整数が現れ、
かつ11111の倍数であるとき、その整数を面白い整数と
呼ぶことにする。面白い整数は全部でいくつあるか。

解答

・わたしの...

各桁の数字の和=45

11111の和=5

5*9=45

各桁の和が9...

0が途中にあると...0が消えるので、0は最後...

*11115=123498765

*11124=123598764

*11223=124698753

*12222=135798642

と、この逆の

*51111=567894321

*42111=467895321

*32211=357896421

*22221= 246897531

で...8個かなぁ...理屈じゃなくって...具体的に調べたって感じ...^^;

↑

全然、不出来 ^^; Orz...

↓

・鍵コメY様からのエレガントな解法 Orz〜

3456個あります。
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 の数字を１個ずつ使えば必ず９の倍数になるので、
11111の倍数と 99999の倍数は同じものです。
99999の倍数である条件は 前５桁と後ろ５桁の和が 99999の倍数になることであり、
ABCDEabcde の形の数で、A＋a＝B＋b＝C＋c＝D＋d＝E＋e＝9 になれば 99999の倍数です。
Aの決め方が9通りで同時にaが決まり、Bの決め方が8通りで同時にbが決まり、
Cの決め方が6通りで同時にcが決まり、Dの決め方が4通りで同時にdが決まり、
Eの決め方が2通りで同時にeが決まりますので、9･8･6･4･2＝3456 です。

*10*8*6*4*2-8*6*4*2=(10-1)*8*6*4*2=9*8*6*4*2

・・・先頭が0の場合を引いてですね ☆

・友人から届いたもの ^^

*鍵コメY様と同じ解法でしたね♪

[スモークマン]

＞7:10pmの鍵コメY様へ ^^
なるほどぉ!!
10^5*m+(99999-m)
=(10^5-1)m+99999
=(10^5-1)(m+1)
so...m=ABCDE,99999-m=abcde
と言えるわけですのねぇ☆

紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v
偶数の循環小数の前後の半分の和=99...99になると言う話にも関連してる気もしたりしたりかな...?...

[スモークマン]

↑
友人から届いたものをアップしました ^^