18476：cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=-1を満たす△...

問題18476・・・出会いの泉からようすけ様提示問 Orz〜

次の等式を満たす△ABCはどのような三角形であるかを理由をつけて答えなさい。

cos(A+B-C)+cos(B+C-A)+cos(C+A-B)=1

解答

・わたしの...

一般の三角形において、以下の関係式が成り立つのね...^^

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1497390529 より 引用 Orz〜

cos^2A+cos^2B+cos^2C＝1-2cosAcosBcosC

「mus********様のもの

三角形だからA+B+C=πなので

C=π-(A+B)

cosC=cos{π-(A+B)}=-cos(A+B)

cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=sinAsinB-cosAcosB
cosC+cosAcosB=sinAsinB
ここで両辺２乗
cos^2C+2cosAcosBcosC+cos^2Acos^2B=sin^2Asin^2B
cos^2C+2cosAcosBcosC+cos^2Acos^2B=(1-cos^2A)(1-cos^2B)
cos^2C+2cosAcosBcosC+cos^2Acos^2B=1-cos^2A-cos^2B+cos^2Acos^2B
cos^2C+2cosAcosBcosC=1-cos^2A-cos^2B
cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosAcosBcosC」

so...

cos(A+B-C)+cos(B+C-A)+cos(C+A-B)=1

左辺

=-{cos(2C)+cos(2A)+cos(2B)}

=-2(cos^2A+cos^2B+cos^2C)+3

so...

-2(1-2cosAcosBcosC)+3=1

so...

2cosAcosBcosC=0

so...

A or B or Cが直角