18491：ランダムな２つの整数の公約数の平均値は？...^^;

問題18491・・・http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/8379_y8.htm より 引用 Orz〜

[１]ランダムな２つの整数の公約数の平均値は？

[２]ランダムな２つの奇数が互いに素である確率は？

[３] ランダムな２つの奇数と偶数が互いに素である確率は？

解答

・わたしの...

[1]

2...2*(1/2)^2

3...3*(1/3)^2

...

so...

(1/2+1/3+...+1/n)/n^2→0

互いに素の確率は6/π^2の公約数は1なので...

6/π^2 かと思ったら...

・上記サイトより Orz〜

Σσ（ｋ）・６／π^2ｋ^2＝６／π^2（Σ１／ｋ^2）^2＝π^2／６

互いに素でなければ少なくとも２つの公約数があるはずであるのにも関わらず，平均値は２よりも小さいことになる．

*よくわからない...^^;

[2]

1/P=(1/(1-1/2^2))(1-(1-1/3^2)).../(1/(1-1/2^2))(1-(1-1/4^2))...

      =π^2/6*(1-1/2^2)

      =(π^2/6)(3/4)

      =π^2/8

so...

P=8/π^2

[3]

so...

奇数と偶数が互いに素な確率qは...q/2+2/π^2=6/π^2

so...q=8/π^2 と奇数*奇数の場合と同じになるのねぇ ^^

((8/2)+(8/4))=6