18492：2^2014+1は素数か？...

問題18492(アナロジー問)

(1)

2^2020+1は素数でしょうか？

(2)

2^2019+1は素数でしょうか？

(3)

2^2014+1 は素数でしょうか？

解答

・わたしの...

(1)

因数に17を持つようなので合成数なんだけど...

手計算じゃわからず... ^^;

(2)

2^2019+1

=(2^673)^3+1

は2^673+1 を因数に持つので合成数...

(3)

2^2014+1

=4*(2^503)^4+1

=(4*(2^503)^4+4*(2^503)^2+1)-(2*2^503)^2

=(2*(2^503)^2+1)^2-(2*2^503)^2

=(2*(2^503)^2+2*2^503+1)(2*(2^503)^2-2*2^503+1)

で、合成数...

・鍵コメY様から頂戴したコメントより Orz〜

ｎを奇数とすれば x^n＋1 で x＝−1 を代入すれば 0 ですので、
x^n＋1 は x＋1 で割り切れます。
従って、2^n＋1 は ｎが奇素数ｐの倍数のとき、n＝pq とすれば、
2^n＋1＝2^(pq)＋1＝(2^q)^p＋1 ですので、2^q＋1 の倍数になります。
従って、2^n＋1 が素数になるのは、ｎに２以外の素因数が含まれない場合に限られ、
ｎが２の累乗になる場合(フェルマー数)に限られます。

*そうでしたわ ^^;v

so...

上の例は全て、合成数と言えるわけでしたのね...何ともはやお粗末でした... ^^;;...

[スモークマン]

＞6:38pmの鍵コメY様へ ^^
そっか ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v