18495：証明...3桁の素数の100の位をa,10の位をb,1の位をc,ax^2+bx+c=0は整数会を持たない。

問題18495・・・http://scipio.secret.jp/garage/seisuuANS.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

x=10+t

a(10+t)^2+b(10+t)+c

=p+20*at+b*t

=0

so...

t(20a+b)=-p

t=1 とすると...

p=100a+10b+c=-20a-b

120a+11b+c=0 ありえない

t=-1 とすると...

100a+10b+c=20a+b

80a+9b+c=0...これもあるえない...

20a+b≠±1

なので、結局、整数解x=10+tは持たない...□

↑

ミスってます ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

a(10+t)^2+b(10+t)+c
=100a+10b+c+20at+at^2+bt
=p+t(20a+at+b)
ですね．(at^2が欠落しています．)

すると，論証はこれでは未完成です．

t=-1,-pのどちらも不可能であることを言えば，
それで証明は完成します．

t=-1であれば，p=100a+10b+c=19a+bから矛盾，
t=-pであれば，(20+t)a+b=1で，a≧1，20+t=20-p<-80から矛盾．

・・・20+t=20-p<=20-101<80 だからなのね ^^

なお，次のように表現するのも有力です．

整数解をもつとすれば，それは
・負に限り，
・cの約数に限る．
cは3桁の素数の一の位だから，1,3,7,9のいずれかであり，
整数解の候補は-1,-3,-7,-9.・・・これだけに絞り込めるわけですのねぇ☆

-1が解だとすると，a-b+c=0.
このとき，100a+10b+c=99a+11bは11の倍数であり不適．
-3が解だとすると，9a-3b+c=0.
このとき，100a+10b+c=91a+13bは13の倍数であり不適．
-7が解だとすると，49a-7b+c=0.
このとき，100a+10b+c=51a+17bは17の倍数であり不適．
-9が解だとすると，81a-9b+c=0.
このとき，100a+10b+c=19a+19bは19の倍数であり不適．

*鮮やかですね ^^♪

[スモークマン]

＞5:24amの鍵コメT様へ ^^
p=-t(20a+at+b)
t=-1 しかなく、
p=100a+10b+c=19a+b
81a+9b+c>0 にて、矛盾...
でいいですよね？...Orz〜

[スモークマン]

＞7:52pmの鍵コメT様へ ^^
解の積がc/aだからcの約数を考えれば十分なわけですのね ☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v