18596：x^4+x^2+1=0...

問題18596・・・出会いの泉掲示板より Orz〜

方程式　x^4＋x^2＋１＝0　を 解こう。

解答

・わたしの...

(1)

x^2=t

t^2+t+1=0

t=ω or ω^2

so...

x=±ω,±√ω

(2)

x≠0

so...

x^2+1+1/x^2=0

(x+1/x)^2=1

x+1/x=1 or x+1/x=-1

x^2-x+1=0 or x^2+x+1=0

(x-1/2)^2=-3/4...x=1/2±i√3/2・・・下から...-ω,-ω＾2

(x+1/2)^2=-3/4...x=-1/2±i√3/2・・・ω,ω^2

(1)から...√ω=-ω^2, -√ω=ω^2

になるようですね ^^

(3)

x^6=1の±1以外の解

cos(2π*k/6)+i sin(2π*k/6) のk=0,3以外の解

・鍵コメT様からのもの Orz〜

以下の解き方が普通かもしれません．

x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)だから，
方程式は「x^2+x+1=0またはx^2-x+1=0」と同じことであり，
x=(-1±√3i)/2またはx=(1±√3i)/2. 

*この方法がありましたわね ^^☆

[スモークマン]

＞8:14amの鍵コメT様へ ^^
そっか!!
その方法がありましたか☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v