18613：C(2015,m)が偶数になる正の整数 m...1<=m<=2015...の最小値は？

問題18613

mを2015以下の正の整数とする。

C[2015,m]が偶数となる最小のmを求めよ。

解答

デジャヴー ^^

・わたしの...

地道に...^^;

2015!/(m!(2015-m)!)

2014...2・・・2

2012...2^2・・・2^2=4

2010...2・・・2*3=6

2008...2^3・・・2^3=8

2006...2・・・2*5=10

2004...2^2・・・2^2*3=12

2002...2・・・2*7=14

2000...2^4・・・2^4=16

1998...2・・・2*9=18

1996...2^2・・・2^2*5=20

1994...2・・・2*11=22

1992...2^3・・・2^3*3=24

1990...2・・・2*13=26

1988...2^2・・・2^2*7=28

1986...2・・・2*15=30

1984...2^6・・・2^5=32

-----------------------so...m=32なら...分母=32!1983! なので、分子に2が1個残る...

そのとき、下一桁は0

それ以外は...5

実際に...

C(2015,32)=

これ以外のmってあるのかしらん？

調べました ^^

画像：https://izu-mix.com/math/?p=1922 より引用 Orz～

「2進法表記の m と 2016 – m を考えたときに、初めて下から並ぶ 0 の数が m より 2015 – m が大きくなる m がいくつかを考えればよい。

例えば、
　　m = 100₍₂₎
の場合、
　　2016 – m = 11111011100₍₂₎
となり、下からの0の数はどちらも2つとなり、該当しない。

下からの0の数が重要なので、2進数表記で下の桁が1になるような数、すなわち
　　m = **1₍₂₎
のような数は省いてよい（これは、解答で「奇数は飛ばして良い」としたのと同じこと）。2進法表記の m の下の桁が 0 になるような数を、小さい方から考えていけばよい。また、
　　2016₍₁₀₎ = 11111100000₍₂₎
としたから 5 個 0 が並ぶ数であることから、2進法で下4桁が0である数までは、2進法表記の m と 2016 – m の末尾に並ぶ0の数は等しくなるのでこれも無視してよい。

これらのことから、末尾に並ぶ0の数に差異ができるのは、
　　m = 100000₍₂₎
のときであり、実際に、
　　2016 – m = 11111000000₍₂₎
となり、 m の末尾の 0 が 5個、 2016 – m の末尾の 0 が 6 個となるため、求める m であることが分かる。
最後に、
　　m = 100000₍₂₎
を10進法表記に戻して、求める m = 2⁵ = 32 である。」

*なるほどねぇ♪

これだと...

1100000(2)=2^6+2^5=96

11100000=2^7+96=224

10100000=2^7+32=160など...2^4-1=15個のmの候補があるわけね ^^

...

C(2015,96)=