18636：△と4個の円の半径...

問題18636・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38906808.html より Orz〜

△ABCとその外接円があって、外接円の半径は 18 で、

Aで外接円に接し 辺BCと接する円の半径が 16 、Bで外接円に接し 辺CAと接する円の半径が 10 です。

このとき、Cで外接円に接し 辺ABと接する円の半径は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38914829.html より Orz〜

[解答1] たけちゃんさんのコメントより

　BC＝a，CA＝b，AB＝c とし，

　△ABCの外接円の中心をO，Aで外接円に接し辺BCと接する円の中心をA'とする．

　また，求める半径をrとする．

　AからBCへ下ろした垂線長は c･sinB＝36sinBsinC． OからBCへ下ろした垂線長は 18|cosA|．

　A'はOAを1:8に内分するから，A'からBCへ下ろした垂線長は

　(36sinBsinC±8･18|cosA|)/9＝16であり，複号は cosA の符号と一致して，

　36sinBsinC＋8･18cosA＝144，つまり，sinBsinC＋4cosA＝4．

　同様に，4･36sinAsinC＋5･18cosB＝90より，8sinAsinC＋5cosB＝5，

　(18−r)･36sinAsinB＋r･18cosC＝18rより，2(18−r)sinAsinB＋rcosC＝r． 

　x･sinBsinC＝1−cosA＝sin²A/(1＋cosA)とすると，

　xbc/(4R²)＝a²/(4R²)･(2bc)/(2bc＋b²＋c²−a²)．

　x＝(2a²)/｛(b＋c)²−a²｝＝2/｛(b/a＋c/a)²−1｝． (b/a＋c/a)²＝2/x＋1．

　1/｛√(2/x＋1)＋1｝＝a/(a＋b＋c)．

　同様に，y･sinAsinC＝1−cosB，z･sinAsinB＝1−cosCとすると，

　1/｛√(2/y＋1)＋1｝＝b/(a＋b＋c)，1/｛√(2/z＋1)＋1｝＝c/(a＋b＋c) であり，

　1/｛√(2/x＋1)＋1｝＋1/｛√(2/y＋1)＋1｝＋1/｛√(2/z＋1)＋1｝＝1 が成り立つ．

　本問では，x＝1/4，y＝8/5であり，

　1/｛√9＋1｝＋1/｛√(9/4)＋1｝＋1/｛√(2/z＋1)＋1｝＝1 より，z＝49/60．

　したがって，2(18−r)/r＝49/60 であり，r＝2160/169＝12．781065…… ． 


[解答2]

　BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，求める円の半径を r とします。

　また、Aで外接円に接し辺BCと接する円と 辺ABとの交点をE ，辺ACとの交点をF ，

　この円と辺BCとの接点を D とします。

　外接円を含め、△ABCと△AEFは Aを相似の中心として相似です。

　その相似比を 1：(1−k) とすれば、BE＝kBA＝kc ，CF＝kCA＝kb ですので、

　方べきの定理により、BD²＝BE･BA＝kc² ，CD²＝CF･CA＝kb² になり、BD²･CD²＝k²b²c² 、BD･CD＝kbc 、

　a²＝(BD＋CD)²＝BD²＋2BD･CD＋CD²＝kc²＋2kbc＋kb²＝k(b＋c)² だから、

　k＝a²/(b＋c)²　、1−a²/(b＋c)²＝16/18 です。

　同様に、1−b²/(c＋a)²＝10/18 、 1−c²/(a＋b)²＝r/18 です。

　よって、a²/(b＋c)²＝1−16/18＝1/9 ，b²/(c＋a)²＝1−10/18＝4/9 ，c²/(a＋b)²＝1−r/18 、

　√(1−r/18)＝x として、a/(b＋c)＝1/3 ，b/(c＋a)＝2/3 ，c/(a＋b)＝x 、

　(b＋c)/a＝3 ，(c＋a)/b＝3/2 ，(a＋b)/c＝1/x 、

　(a＋b＋c)/a＝4 ，(a＋b＋c)/b＝5/2 ，(a＋b＋c)/c＝1＋1/x＝(x＋1)/x 、

　a/(a＋b＋c)＝1/4 ，b/(a＋b＋c)＝2/5 ，c/(a＋b＋c)＝x/(x＋1) 、

　よって、1/4＋2/5＋x/(x＋1)＝1 、x/(x＋1)＝7/20 、20x＝7x＋7 、x＝7/13 です。

　√(1−r/18)＝x＝7/13 だから、1−r/18＝49/169 、r/18＝120/169 、

　r＝2160/169＝12．781065…… です。

*3個の△ABCに相似な△があできること以外、何にも気づけず...撃沈...^^;;;

これは難しいなぁ Orz...

綺麗な式が見出されましたのねぇ♪

[スモークマン]

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