18653：線分比...辺の長さが自然数になる二等辺三角形内にできる同じく辺が自然数なる二等辺三角形...

グリーンのアイシャドーって新鮮ね ^^

問題18653・・・やどかりさんのブログより Orz～

　AB＝AC の二等辺三角形の辺BC上に点Pを PA＝PC になるようにとります。

　AB，BP，PC が自然数であるとき、次の場合に、最も簡単な整数比の AB：BP：PC＝？

　(1) BP＞PC の場合　　(2) BP＜PC の場合

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38920579.html より Orz～

　AB＝AC＝a ，BP＝b ，PC＝PA＝c とすれば、cosB＝cosC＝(b＋c)/(2a) です。

　余弦定理より、AP²＝AB²＋BP²－2･AB･BP･cosB ，AP²＝AC²＋CP²－2･AC･CP･cosC 、

　c²＝a²＋b²－2ab(b＋c)/(2a) ，c²＝a²＋c²－2ac(b＋c)/(2a) 、

　c²＝a²＋b²－b(b＋c) ，c²＝a²＋c²－c(b＋c) 、

　よって、c²＝a²＋x²－x(b＋c) の解が x＝b，c になります。

　x²－(b＋c)x＋a²－c²＝0 の解が x＝b，c だから、解と係数の関係により、bc＝a²－c² 、

　(b＋c)c＝a² なので、b＋c，c の最大公約数を g とすれば、

　b＋c＝m²g ，c＝n²g (m，n は互いに素な自然数で m＞n) と表せ、a＝mng ，b＝(m²－n²)g です。

　また、a＞b より、mn＞m²－n² 、4n²＋4mn＞4m² 、4n²＋4mn＋m²＞5m² 、(2n＋m)²＞5m² 、

　2n＋m＞m√5 、(√5－1)m/2＜n＜m で、AB：BP：PC＝a：b：c＝mn：(m²－n²)：n² です。

　(1) b＞c の最も簡単なものは (m，n)＝(3，2) で、AB：BP：PC＝6：5：4 です。

　(2) b＜c の最も簡単なものは (m，n)＝(4，3) で、AB：BP：PC＝12：7：9 です。

*全く気づけず...^^;

AB=m.PC=x,BC=m^2/x
(1)m^2>2x^2,2x>m>0,m^2/x=n
m≠x
(m,n,x)=(6,9,4)
so...
6^2/4-4=5・・・(AB：BP：PC)=(6,5,4)

(2)m^2<2x^2,2x>m>0, 2m>m^2/x,m^2/x=n
ではうまく出せない...m=10までで満たすものはない
m=11は分数になるので...
m=12...x^2>72,x>=9
12^2/9-9=7
so...(AB：BP：PC)=(12,7,9)と調べ上げましたわ^^;