18697：2^2004を1〜2^2004で割ったときの商の種類の個数は？...

問題18697(友人問)

2^2004を1,2,3,……..,2^2004で割ってそれぞれ商と余りを求める。
このとき、商として現れる整数は何種類あるか。

解答

デジャヴー ？

・わたしの...

2^2003+1以上は1

1〜2^1002までは商(2^1002〜2^2004にある)が異なる...

また、

(2^1002+k)(2^1002-k)+k^2

k=1〜2^501までは、商が2^1002-(1〜2^501)の種類ある...

so...

2^1002*2-1+2^501+1・・・(2^1002の時は商も2^1002で同じなので-1)

=2^1003+2^501個

でいいのかな ^^

↑

間違ってましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのヒント Orz〜

類題として，
「100を1,2,3,…,100で割ってそれぞれ商と余りを求める．
このとき，商として現れる整数は何種類あるか」
を考えます．
100/n-100/(n+1)=100/(n(n+1))であり，この値は
[1] n≦9のときは1より大きく，
[2] n≧10のときは1より小さい
ことに注意します．

[1]より，100÷1,100÷2,…,100÷10は，すべて別々の商となり，
ここで現れる商は10通りです．

[2]より，100÷10,100÷11,…,100÷100には，1から10までの商がすべて現れ，
ここで現れる商は10通りです．

この2つの分類には，商「10」だけが重複しているので，
10+10-1=19(通り)が結論です．

友人さんの問題に対する答えはちょっと違っているようです．
類題をベースに考えると，正しい答えがわかるのではないかと思います．

*結局...

(10+k)(10-k)+k^2=100

k=0〜9

5のときは、5^2 なので...

2*10-1=19個

と考えられることから、

同様に...

(2^1002+k)(2^1002-k)+k^2=2^2004

で、k=0〜(2^1002-1)まで考えられるので、

(2^1002)*2-1=2^1003-1 個

になるわけね ^^

・友人から届いたもの...

*難しいわねぇ...^^;

[スモークマン]

＞8:17amの鍵コメT様へ ^^
そっか ^^;
どこか怪しいと感じてましたが...
1〜2^1002までは、2^1002〜2^2004までの商があり、それが逆になってもいいので、2^1002*2...ここから2^1002が重複してるので-1
so...2^1003-1個でよかったのですね ^^;v

紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

↑
友人から届いたものをアップしました ^^
but...difficult...^^;