18706：4桁の数Nの並べ替えた数の和S(N)...

問題18706・・・やどかりさんのブログ  https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38921781.html#38921781 より Orz〜

　４桁の自然数 N に対して、N の数字を並べかえた４桁の数すべての和を S(N) とします。

　例えば、S(1122)＝1212＋1221＋2112＋2121＋2211＝8877 ，

　S(1123)＝1132＋1213＋1231＋1312＋1321＋2113＋2131＋2311＋3112＋3121＋3211＝22208 です。

　では、S(N)＝38715 のとき N＝？

　ただし、上の位が０でも数字が４個並んでいれば ４桁の自然数として扱うことにします。

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38928528.html より Orz〜

　N に同じ数字が含まれる場合も含まれない場合も、

　N と N の数字を並べかえた４桁の数すべての数を書けば、

　どの桁についても 数字の種類とその個数が同じですので、

　N＋S(N) は 1111の倍数になり、N＋S(N)≡0 (mod 1111) 、N≡−S(n) (mod 1111) です。 

　S(N)＝38715 のとき N≡−38715≡170 (mod 1111) 、

　N＝0170，1281，2392，3503，4614，5725，6836，7947，9058 が答の候補です。 

　いずれの場合も３種類または４種類の数字が使われますので、

　N に４種類の数字が含まれる場合、数字を a，b，c，d とすれば、４桁の数は24個あり、

　各桁の数字は a，b，c，d が６個ずつだから、N＋S(N)＝6666(a＋b＋c＋d) 、

　N に３種類の数字が含まれる場合、数字を a，a，b，c とすれば、４桁の数は12個あり、

　各桁の数字は a が６個で b，c が３個ずつ、N＋S(N)＝6666a＋3333(b＋c)＝3333(2a＋b＋c) 、

　N＋S(N) は 3333の倍数になり、N＋S(N)≡0 (mod 3333) 、N≡−S(N) (mod 3333) です。 

　S(N)＝38715 のとき N≡−38715≡1281 (mod 3333) 、N＝1281，4614，7947 が答の候補です。 

　N に３種類の数字が含まれ、数字を a，a，b，c とすれば、N＋S(N)＝3333(2a＋b＋c) 、

　N＋38715＝3333(2a＋b＋c) 、(N＋38715)/3333＝2a＋b＋c 、(N＋2052)/3333＝2a＋b＋c−11 です。

　N＝1281 のとき (N＋2052)/3333＝1＝2･1＋2＋8−11 、

　N＝4614 のとき (N＋2052)/3333＝2≠2･4＋6＋1−11 、

　N＝7947 のとき (N＋2052)/3333＝3≠2･7＋9＋4−11 だから、

　N＝1281 だけが適します。

*効率poorな方法でしか思いつけず...^^;

(1)aaab...
0<=a<=9,0<=b<=9,

(1110+1101+1011+111)*a+1111*b-38715=1110*a+b〜111*a+1000*b まで解なし
(2)aabb...
(1100+1010+1001+110+101+11)*(a+b)-38715 も同様に調べて、解なし
(3)aabc...
(1100+1010+1001+110+101+11)*2*a+(11+101+110+1001+1010+1100)*(b+c)-38715

=1001*a+100*b+10*c
a=1,b=2,c=8
以外なし...
(4)abcd...
1111*24*(a+b+c+d)-38715

=1000*a+100*b+10*c+d
を満たすものなし...
so...1281 だけでしたのね ^^;v

[スモークマン]

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