18771：周長が1の直角三角形の中で面責最大となるものの3辺の長さは？...基本 ^^

問題18771・・・http://task.naganoblog.jp/c10519.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

底辺を一定にした時にできる周長が一定の△の最大は、

楕円から、二等辺三角形...

so...

直角二等辺三角形なので、

1=(2+√2)x

x=(2-√2)/2の等辺と、√2-1 の斜辺　ね ^^

↑

これではきちんと行ってることにならないようなのね...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

結論は正しいですが，これでは論拠が不完全です．
なぜなら，周の長さを一定とする三角形についての問題で，
実際には一定にならない底辺を一定として考えているからです．

三角関数でやるのが普通かと思います．

斜辺をa，1つの鋭角をθとして，
条件より，a(1+sinθ+cosθ)=1.
a=1/(1+sinθ+cosθ).
面積Sは，
S=(1/2)(asinθ)(acosθ)=(sinθcosθ)/(2(1+sinθ+cosθ)^2).
sinθcosθ=((sinθ+cosθ)^2-1)/2であることに注意して，
sinθ+cosθ=tとおくと，
S=(t^2-1)/(4(1+t)^2)=(t-1)/(4(t+1))=1/4-1/(2(t+1)).
これは，t(>0)が大きいほど大きくなる．
t=√2sin(θ+π/4)だから，θ=π/4のとき最大で，t=√2.
このとき，斜辺はa=√2-1であり，残り2辺は，
そのsin(π/4)倍とcos(π/4)倍で，ともに1-1/√2. 

*文句のつけようがありませんですばい ^^;☆

[スモークマン]

＞0:57amの鍵コメT様へ ^^
直角三角形を含めた一般の△において、周長が一定なら、二等辺三角形であることは言えると思うのですが...?
さすれば...直角三角形であれば、直角二等辺三角形に一位に決まりませんでしょうかしらん ^^;...?

[スモークマン]

＞9:52pmの鍵コメT様へ ^^
よくわからないのですが...
>(例)周長が5で，底辺(斜辺)が2であれば，残り2辺をx,yとして，
x+y=3,x^2+y^2=4となり，xy/2=((x+y)^2-(x^2+y^2))/4=5/4です．
but...二等辺三角形ではないですよね？...^^;

[スモークマン]

＞11:00pmの鍵コメT様へ ^^
こうは考えられないでしょうか？
底辺が任意の△において、周長が一定なら二等辺三角形が面積最大...
ならば、頂角が90°の△においても二等辺三角形の場合になる...
でも論理に瑕疵があるでしょうかしらん？ ^^;

[スモークマン]

＞11:23pmの鍵コメT様へ ^^
う〜ん...よくわからなくなってきました ^^;
紹介させていただきまっすぅ〜m(_ _)m〜v