18772：不等式を満たす30までの自然数a,b,cの組の個数は？

問題18772・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38933364.html#38933364 より Orz～

　|a－b|＞|b－c| を満たす 30以下の自然数の組(a，b，c)は何組？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38940616.html より Orz～

[解答1]

　一般化し、|a－b|＞|b－c| を満たすｎ以下の自然数の組(a，b，c)は組数を求めます。

　両辺を２乗し、(a－b)²＞(b－c)² 、(a－b)²－(b－c)²＞0 、(a－c)(a＋c－2b)＞0 、

　よって、2b＜a＋c のとき a＞c で、2b＞a＋c のとき a＜c であればよい。

　つまり、a，c を区別せず、a≠c かつ 2b≠a＋c である場合の数を求めることになります。

　a，c の選び方は _nＣ₂＝n(n－1)/2 で、b＝1，2，……，n まで加えると、n²(n－1)/2 、

　このうち　2b＝a＋c となる場合は、a，c　が偶数どうしまたは奇数どうしで、b がその平均ですので、

　ｎが偶数のとき、_n/2Ｃ₂＋_n/2Ｃ₂＝2･(n/2)(n/2－1)/2＝n(n－2)/4 、

　ｎが奇数のとき、_(n+1)/2Ｃ₂＋_(n-1)/2Ｃ₂＝(n/2＋1/2)(n/2－1/2)/2＋(n/2－1/2)(n/2－3/2)/2＝(n－1)²/4 、

　いずれの場合も [(n－1)²/4] 通りですので、

　求める個数は、 n²(n－1)/2－[(n－1)²/4] です。

　本問では n＝30 ですので、30²･29/2－[29²/4]＝13050－210＝12840 通りです。

[解答2]

　一般化し、|a－b|＞|c－b| を満たすｎ以下の自然数の組(a，b，c)は組数を求めます。

　ｎ以下の自然数の組(a，b，c)は組数 n³ 個で、

　|a－b|＞|c－b| を満たす場合も |a－b|＜|c－b| を満たす場合も同数ですので、

　|a－b|＝|c－b| を満たす場合の数を N とすれば、(n³－N)/2 組になります。

　|a－b|＝|c－b| になるのは、a＝c の場合または a，b，c が公差が0以外の等差数列の場合で、

　a＝c の場合は n² 個

　ｎ以下の異なる３個の自然数が等差数列になるような選び方は、

　偶数どうしまたは奇数どうしの２個とその平均を選べばよいので、

　ｎが偶数のとき、_n/2Ｐ₂＋_n/2Ｐ₂＝2･(n/2)(n/2－1)＝n(n－2)/2 、

　ｎが奇数のとき、_(n+1)/2Ｐ₂＋_(n-1)/2Ｐ₂＝(n/2＋1/2)(n/2－1/2)＋(n/2－1/2)(n/2－3/2)＝(n－1)²/2 、

　いずれの場合も [(n－1)²/2]＝2[(n－1)²/4] 通りだから、N＝n²＋2[(n－1)²/4] 、

　求める個数は、｛n³－n²－2[(n－1)²/4]｝/2＝n²(n－1)/2－[(n－1)²/4] です。

　本問では n＝30 ですので、30²･29/2－[29²/4]＝13050－210＝12840 通りです。

*わたしゃ...[解答1]のような感じで数え上げちゃいました ^^

(A-C-B) or (B-C-A)は全て...c(30,3)*2=4060*2=8120
(A-B-C) or (C-B-A)は、間隔が異なっていれば、どちらかが満たす...
so...(1-2-3)～(28-29-30),(1-3-5)～(26-28-30),...,(1-15-29)～(2-16-30)
28+26+...+2=14*15=210以外なら満たすものにできる...
so...c(30,3)-210=4060-210=3850
b=c の時も満たす...30*29=870
結局...8120+3850+870=12840

・友人からのもの...

ある(a,b,c)について
(1) |a－b|＞|b－c|
(2) |a－b|=|b－c|
(3) |a－b|<|b－c|
のどれか1つが成りたち、(1)と(3)は対称性から同数だから
(2)を計算して全体30^3=27000から引く
1～30から重複をいれて3点選びa,b,cに割り付ける
1点(a=b=c) ではすべて成立して30通り
2点では片方にb、他方にaおよびcがあるとき成立で30C2*2=870通り
3点ではbを中心にa,cが左右対称であればよい。2点を選び、その中点が
整数であれば、これをbとすればよい。このためには2点は（キ、キ）or（グ、グ）であることが
必要十分で15C2+15C2=210 通り。a,c逆でもよいから、420通り
合計して30+870+420=1320通り
よって(27000-1320)/2=12840通り