18795：三角方程式...

問題18795・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38938151.html#38938151 より Orz〜

　8sin³θ−4sin²θ−4sinθ＋1＝0 を満たす最小の正の角θは？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38946123.html より Orz〜

[解答1]

　sinθ≠−1 だから、両辺に sinθ＋1 をかけて、(8sin³θ−4sin²θ−4sinθ＋1)(sinθ＋1)＝0 、

　8sin⁴θ＋4sin³θ−8sin²θ−3sinθ＋1＝0 、8sin⁴θ−8sin²θ＋1＝3sinθ−4sin³θ 、

　2(1−2sin²θ)²−1＝sin3θ 、2cos²2θ−1＝sin3θ 、cos4θ＝sin3θ 、

　これを満たす最小の正の角θは 4θ＋3θ＝π/2 、7θ＝π/2 、

　θ＝π/14＝90ﾟ/7＝12．857142857142……ﾟ です。


[解答2] たけちゃんさんのコメントより

　sin3θ＝−4sin³θ＋3sinθ ，cos2θ＝1−2sin²θ を用いて，

　8sin³θ−4sin²θ−4sinθ＋1＝0 は，−2sin3θ＋2cos2θ＋2sinθ−1＝0 となる．

　π/2−θ＝x とおいて，2cos3x−2cos2x＋2cosｘ−1＝0.

　cos3x−cos2x＋cosｘ−cos0＋cos(−x)−cos(−2x)＋cos(−3x)＝0.

　z＝cosｘ＋i･sinｘ とおくと，

　これは z³−z²＋z−1＋1/z−1/z²＋1/z³(＝f(z)とおく) の実部が0であることを意味する．

　z と 1/z は共役だから，f(z)は実数であって，f(z)＝0 .　z⁷＋1＝0 かつ z≠−1.

　x＝(2n＋1)π/7 (nは整数で，7で割った余りが3以外)．　

　θ＝(−4n＋5)π/14 (nは整数で，7で割った余りが3以外)．

　最小の正のθは，n＝1のときであり，θ＝π/14＝90ﾟ/7＝12．857142857142……ﾟ. 

*たけちゃんさんの発想はエレガントねぇ♪

わたしゃ...さっぱりわからず...色々調べて...^^;

チェビシェフの多項式が使えると...^^;v
sinθ=cos(90°-θ)
90°-θ=x
与式=8cos^3(x)-4cos^2(x)-4cos(x)+1=0
天下り的に...x=π/7,3π/7,5π/7 のとき、cos(3x)=-cos(4x)
チェビシェフの多項式から...cos(x)=t とすると...
4t^3-3t=-8t^4+8t^2-1
(t+1)(8t^3-4t^2-4t+1)=0
から、与式の8t^3-4t^2-4t+1=0 が求まるので...
x=90-θ=3π/7 のときのθが最小の正...
so...Min(θ)=90°-3*180°//7=(630°-540°)/7=90°/7 (=12.857...°)♪
こりゃ、独力では無理ですばい...^^;;...Orz...

[スモークマン]

＞10:45pmの鍵コメY様へ ^^
あらま ^^;
失礼しました...直しておきます〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

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