18810：整数問題...ジュニア算数オリンピック問より...

問題18810・・・水野先生のサイト「水の流れ」http://ryugen3.sakura.ne.jp/renzoku.html より Orz～

(１)ｎは4桁の自然数で、完全平方数であり、ｎのどの桁の数字も8以下である。ｎの各桁に１を加えてできる数も完全平方数になるという。このようなｎをすべ求めよ。

(２)４桁の自然数ｎで、13の倍数であり、13ｎの下3桁が378になるようなものをすべて求めよ。

(３)自然数ｎの先頭に数字２を書き足し、末尾に数字１を書き足して得られる数は、33ｎに等しいという。このようなｎを１つ見つけよ。

(「ジュニア数学オピンピックへの挑戦」（日本評論社：安藤哲也著）より)

解答

・わたしの...

(1)

m^2+1111=k^2

(k-m)(k+m)=1111=1*1111=11*101

so...

k-m=11

k+m=101

so...m=(101-11)/2=45

so...n=45^2=2025

(2)

n=13*m

13^2*m≡378 (mod 1000)

　169

162

　---

　338

014

169

------

378

so...

13*162=2106

162=2*3^4

13*4*13=676

なし

13*7*13*166=196378

but...13*7*166=15106>9999

結局、2106だけね...

(3)

2*10^(k+1)+10n+1=33n

2*10^(k+1)+1=23n

----------

2001でビンゴ ^^

so...n=87

・上記サイトより Orz～

・二度漬け白菜様のもの Orz～

[問題1]
条件を満たすような n は, n=2025 のみ．(答)

n=a^2，n+1111=b^2 (a，b は正整数)　とおける．
この2式より，
b^2-a^2=1111，つまり
(b-a)*(b+a)=11*101　となる．よって，
(b-a)=11 かつ　(b+a)=101
または，
(b-a)=1 かつ　(b+a)=11*101，つまり
(a,b)=(45,56) または (a,b)=(555,556)
となるが，n=a^2 が 4桁の正整数になるのは (a,b)=(45,56)のときのみ．
a=45のとき，n=a^2=45^2=2025となって，nのすべての桁の数字は8以下．
よって問題文の条件を満たすような n は，n=2025 のみ．.

[問題2]
条件を満たすような n は, n=2106 のみ．(答)

n=1000*a+100*b+10*c+d
(a，b，c，d は整数であって，1≦a≦9，0≦b,c,d≦9 )　
とおける．

8≡13*n≡13*d (mod 10) であるから，d=6．

78≡13*n≡13*(10*c+d)≡13*(10*c+6)≡130*c+78 (mod 100) であるから，
0≡130*c (mod 100)．
よって，c=0．

378≡13*n≡13*(100*b+10*c+d)≡13*(100*b+6)≡1300*b+78 (mod 1000) であるから，
300≡1300*b (mod 1000)．　
よって，b=1．

以上より n=1000*a+106 となるが，n が 13 の倍数となるのは，a=2
のときのみ．

[問題3]
問題文の条件を満たすような n の一例は，
n=8695652173913043478260869565217391304347826087 (答)

n の桁数を m (m≧1) とすると,
10^(m-1)≦n＜10^m．

n の先頭に数字 2 を書き足し，末尾に数字 1 を書き足して得られる数は，
2*10^(m+1)+10*n+1 である．これが 33*n に等しいから，
2*10^(m+1)+10*n+1=33*n つまり，2*10^(m+1)+1=23*n．
よって，
2*10^(m+1)≡-1≡22(mod 23)
つまり，
10^(m+1)≡11(mod 23)
が成り立つ必要がある．
ここで，
10≡10，10^2≡8，10^3≡11，10^4≡18，10^5≡19，10^6≡6，10^7≡14，10^8≡2，
10^9≡20，10^10≡16，10^11≡22，10^12≡13，10^13≡15，10^14≡12，10^15≡5，
10^16≡4，10^17≡17，10^18≡9，10^19≡21，10^20≡3，10^21≡7，10^22≡1，
10^23≡10，10^24≡8，10^25≡11(mod 23) …
であるので，
m+1=22*k+3 (kは0以上の任意の整数)
とかける必要がある．
このとき，n=(2*10^(22*k+3)+1)/23 となる．
さらにこのとき，n は m=22*k+2 桁の整数となる．
実際，(n,m)=((2*10^(22*k+3)+1)/23, 22*k+2)であるとき，
10^m - n
=10^(22*k+2)-(2*10^(22*k+3)+1)/23
=(3*10^(22*k+2)-1)/23
＞0，

n-10^(m-1)
=(2*10^(22*k+3)+1)/23-10^(22*k+1)
=(177*10^(22*k+1)+1)/23
＞0
であるので，
10^(m-1)≦n＜10^m．

以上より，問題文の条件を満たすような正整数 n は，
n=(2*10^(22*k+3)+1)/23 (kは0以上の任意の整数)
で全てである．

n=(2*10^(22*k+3)+1)/23 において k=2 とすると，
n=8695652173913043478260869565217391304347826087
を得る．

なるほどねぇ...^^;

ちなみに...

*k=0

n=2001/23=87

k=1

n=20000000000000000000000001/23=869565217391304347826087