18812：証明...平面上のどの３点も一直線上にない10個の点があるとき,2点を結んで4個ずつに分けられるようにできる.

問題18812・・・http://task.naganoblog.jp/c10519_3.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

どの点から始めても、0-8,1-7,2-6,3-5,4-4 となるように線を移動して引けるから ^^

以下はその例...

↑

不完全のようなのねぇ...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「どの点から始めても0-8,1-7,2-6,3-5,4-4」はちょっとまずいです．
例えば，例示されている図で，
6本の共有点以外の，6本目の直線上の点(中央付近)については，
「0-8」となる線は引けません．

スモークマンさんの考察で，アイディアは完全に示されています．
「0-8,1-7,2-6,3-5,4-4」を活かすか「どの点から始めても」を活かすかで，
2通りの方法が考えられると思います．

[1]
2点を通る直線10C2=45(本)のどれとも平行でない直線Lを考え，
10点それぞれを通るLの平行線(10本)を引くと，どれも一致しない．
この10本の平行線の両端の2本のうちの一方について，
その直線上の点をAとすると，
このAを通る直線について，残り9点の方向は，
Lの方向で区切られる180°の中に含まれるから，
残り9点と結ぶ直線は，残り8点を
0-8,1-7,2-6,3-5,4-4,5-3,6-2,7-1,8-0に分ける．
よって示された．

[2]
10点のうち，1点Aを自由に選ぶ．
Aと他の9点を結ぶ9直線を考え，時計回りにL1,L2,…,L9と名付ける．

L1が，残り8点を4-4と分ければ，題意は成立している．
そうでないとき，x-y (x<y)となっているとしてよい．
L2,L3,…と順にたどると，残り8点の分け方は，
1本進めるたびに，その片側の点の個数が
「不変，1増える，1減る」のいずれかであり，
L9の次のL1に戻ったとき，y-xとなっているはずで，
点の個数の大小がはじめと逆転することになる．
点の個数が2つ以上変化することはないので，
途中に4-4となる場合を経由したことになり，題意は示された．

*わたしのは...[1]と[2]とのハイブリッドってことあるか ^^;?

[2]のつもりだったんだけどなぁ...^^;;...

きっちり、言うのって難しいぃ〜...Orz〜

[スモークマン]

＞3/31.11:12pmの鍵コメT様へ ^^
難しいものねぇ ^^;
わたしのは...貴殿の[2]のつもりでしたのですが...^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v