18816：正方形と頂角45°の△...

少し蕾膨らむも...まだ寒そうな...^^;🌸

問題18816・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38942178.html#38942178 より Orz〜

　正方形ABCDの 辺BC上に点P，辺AD上に点Q があり、

　台形ABPQ＝20 ，△DQP＝40 ，∠DPQ＝45ﾟ のとき、△DPC＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38949861.html より Orz〜

[解答1]

　△PQD＝2･台形ABPQ より、QD･AB/2＝(AQ＋BP)･AB だから、QD＝2(AQ＋BP) 、

　AQ＝a ，BP＝b とすれば、QD＝2a＋2b 、正方形の１辺は AQ＋QD＝3a＋2b ，PC＝BC−BP＝3a＋b です。

　∠QPB＋∠DPC＋45ﾟ＝180ﾟ だから、tan∠QPB＋tan∠DPC＋tan45ﾟ＝tan∠QPB･tan∠DPC･tan45ﾟ 、

　tan∠QPB＝(3a＋2b)/(b−a) ，tan∠DPC＝(3a＋2b)/(3a＋b) だから、

　(3a＋2b)/(b−a)＋(3a＋2b)/(3a＋b)＋1＝(3a＋2b)²/｛(b−a)(3a＋b)｝ 、

　(3a＋2b)(3a＋b)＋(3a＋2b)(b−a)＋(b−a)(3a＋b)＝(3a＋2b)² 、b²＝6a² 、b＝a√6 になります。

　△DPC：△DQP＝PC：QD より、

　△DPC：40＝(3a＋b)：(2a＋2b)＝(3a＋a√6)：(2a＋2a√6)＝(3＋√6)：(2＋2√6) 、

　(2＋2√6)△DPC＝40(3＋√6) 、

　△DPC＝20(3＋√6)/(1＋√6)＝20(3＋√6)(√6−1)/5＝4(3＋√6)(√6−1)＝4(3＋2√6)＝12＋8√6 です。


[解答2]

　正方形ABCDの１辺を L ，△DPC＝S ，QD＝40k ，PC＝Sk とし、

　△DPC≡△DRA となるように、BAの延長上に点R をとれば、

　△DQPは直角二等辺三角形となり、∠RPD＝45ﾟ ですので、QはRP上にあり、

　AQ＝L−40k ，BP＝L−Sk ，RA＝Sk ，RB＝L＋Sk です。

　台形ABPQ：△DQP＝(AQ＋BP)：QD＝(2L−40k−Sk)：40k より、

　(2L−40k−Sk)：40k＝20：40 、2L−40k−Sk＝20k 、2L＝60k＋Sk です。

　また、AQ：BP＝RA：RB より、AQ･RB＝BP･RA 、(L−40k)(L＋Sk)＝(L−Sk)(Sk) 、

　(2L−80k)(2L＋2Sk)＝(2L−2Sk)(2Sk) 、(60k＋Sk−80k)(60k＋Sk＋2Sk)＝(60k＋Sk−2Sk)(2Sk) 、　

　(Sk−20k)(60k＋3Sk)＝(60k−Sk)(2Sk) 、(S−20)(60＋3S)＝2S(60−S) 、

　3S²−1200＝120S−2S² 、5S²−120S＝1200 、S²−24S＝240 、　

　(S−12)²＝384 、S＝12＋8√6 です。

*[解答1]の方法も手計算ではできず...PC頼りでしたわ ^^;

AQ=x,BP=yとすると、QD=2(x+y),AB=3x+2y
0<x<y,
(x+y)(3x+2y)=40,・・・真ん中の三角の面積
80=(3x+2y)^2-(y-x)(3x+y),・・・tan角QPD=1...を和公式で...
(3x+2y)^2-60=12+8√6 ♪・・・PC頼りでしたわ ^^; Orz〜
多分、x^2を求めて、y^2とxyとがそれらで表せることから求めるんでしょうけど...

手計算では、変なことになり求められませんでした ^^;;

[解答2]は...気づけず ^^;;...

気づけたとしても...やはりtan使っただろうなぁ...Orz...

[スモークマン]

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