18828：8^n+nが2^n+nで割り切れる時の正の整数nは？

問題18828(友人問)

8^n+n が 2^n+n で割り切れるような正の整数nを全て求めよ。

解答

・わたしの...

2^(3n)+n が 2^n+n で割れる...

n=2^m

2^(2^m+3)+2^m=2^m*(2^(2^m+3-m)+1)

2^(2^m)+2^m=2^m*(2^(2^m-m)+1)

この場合、(2^(2^m-m))^3+1は2^(2^m-m)+1を因数に持つ

so...

n=2^m ・・・mは0以上の整数

かなぁ...^^

↑

デタラメな指数計算してましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのAha!!なる解法 Orz〜

n=6のとき，8^n+n=262144+6=262150,2^n+n=64+6=70であり，
262150/70=3745だから，条件は成立します．

n=8のとき，8^n+n=16777216+8=16777224,2^n+n=256+8=264であり，
条件は成立しません．

8^n+n^3は，(2^n+n)((2^n)^2-(2^n)n+n^2)だから，2^n+nで割り切れる．
(8^n+n^3)-(8^n+n)=n^3-nが2^n+nで割り切れる条件を求めればよい．
n=1で，n^3-n=0,2^n+n=3で成立，
n=2で，n^3-n=6,2^n+n=6で成立，
n=3で，不成立，
n=4で，n^3-n=60,2^n+n=20で成立，
n=5で，不成立，
n=6で，n^3-n=210,2^n+n=70で成立．
n=7,8,9で不成立．
n≧10で，0<n^3-n<2^n+nであり(数学的帰納法で証明できます)，不成立．

結局，n=1,2,4,6ですべてです．

*合点です ^^

お気に入りぃ〜♪

・友人から届いたもの...

[スモークマン]

＞3:19amの鍵コメT様へ ^^
なるほど!!
わたしの指数計算はおかしかったことに気づきました ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

↑
友人から届いたものをアップしました ^^