18835：maxのMinは？...^^;

問題18835・・・https://izu-mix.com/math/?p=889 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

xy=1-xy

xy=1/2

so...

Min{max{xy,1-xy)}=1/2

(2)

(1)のとき、x=y=√2/2>1/2

so...

Min{max(xy,1-xy,x,y)}=√2/2

ってこと？

よくわからない...^^;

↑

やはり論理的に考えてることになってなかったわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1)は正しいです．
xy<1/2,1-xy<1/2とすれば，和をとって1<1となるから矛盾．
よって，xy,1-xyの一方は1/2以上であり，ともに1/2とすることは可能だから，
max(xy,1-xy)の最小値は1/2.

(2) また，対称性からx≦yとして考えてよい．
このとき，0≦xy≦x≦yだから，max(xy,1-xy,x,y)=max(1-xy,y)であり，
yを固定するとき，1-xyは，x=yとしたときに最小で，
そのときにmax(1-xy,y)も最小となり，最小値はmax(1-y^2,y).
yを0≦y≦1で変化させて，max(1-y^2,y)を最小にすればよく，
yを増やすと1-y^2は減少，yは増加するから，
1-y^2=yのときにmax(1-y^2,y)は最小になり，
そのとき，y=(-1+√5)/2，max(1-y^2,y)=(-1+√5)/2.
以上より，求める最小値は，(-1+√5)/2. 

*なるほど...^^;v

面白い問題でした☆

[スモークマン]

＞4:57pmの鍵コメT様へ ^^
不思議な問題でした ^^;
なるほど...そういう風に考えるのか☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v