18850：同一円周上にある点A,B,C,D...AB=BC=CD=8,DA=4を満たす円の面積...

問題18850・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38947477.html#38947477 より Orz～

　同一円周上にある点 A，B，C，D が、AB＝BC＝CD＝8，DA＝4 を満たすとき、この円の面積は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38954782.html より Orz～

　辺の長さが a，a，b の二等辺三角形の外接円の半径を R とすれば、

　この二等辺三角形の面積は (b/2)√(a²－b²/4) なので、4R(b/2)√(a²－b²/4)＝a²b 、

　Rb√(4a²－b²)＝a²b 、R＝a²/√(4a²－b²) 、外接円の面積は πR²＝πa⁴/(4a²－b²) です。

　四角形ABCDが等脚台形になるとき、AC＝BD とトレミーの定理 AC･BD＝AD･BC＋AB･CD より、

　AC²＝4･8＋8･8＝96 、AB＝BC＝8 だから、円の面積は、π･8⁴/(4･8²－96)＝128π/5 、

　四角形ADBCが等脚台形になるとき、AC＝BD とトレミーの定理 AC･BD＋AD･BC＝AB･CD より、

　AC²＋4･8＝8･8 、AC²＝32 、AB＝BC＝8 だから、円の面積は、π･8⁴/(4･8²－32)＝128π/7 、

　まとめると、128π/5，128π/7 です。

*最初...A,B,C,Dの順しか考えず...またもトラップに ^^;v

cos(角OBC)=4/r
cos(角BAC)=cos(π/2-角OBC)=sin(角OBC)=√(1-16/r^2)
トレミーの定理から…
AC^2=4*8+8^2=96
余弦定理から…
8^2+96-2*8*4√6*√(1-16/r^2)=8^2
96/(64√6)=3/(2√6)= √(1-16/r^2)
so…
1-9/24=16/r^2
5/8=16/r^2
r^2=16*(8/5)
so
円の面積=128π/5

別のアプローチで...
sinθ=4/r
cosθ=(√96/2)/8=√6/4
so...1-16/r^2=6/16=3/8
5/8=16/r^2
so...
円の面積=r^2*π=(8*16/5)*π=128π/5

で...DがAを越してる場合もあるってことだろうと...^^;
8^2=4*8+y^2...y^2=32
32+8^2-2*8*√32*√(1-16/r^2)=8^2
32/(16√32)=√(1-16/r^2)
(√2/4)^2=1/8=1-16/r^2
r^2=8*16/7
so...
円の面積=128π/7