18903：円内に隣接する４個の 円と3個の△...面積比...

問題18903・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38956041.html#38956041 より Orz〜

　半径 23 の 円Oに 半径 9，8，6，9 の 円A，円B，円C，円D が 点E，点F，点G，点H で内接し、

　円Aと円B，円Bと円C，円Cと円D が 点P，点Q，点R で外接しています。

　このとき、接点を頂点とする三角形の面積比 △PEF：△QFG：△RGH＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38963662.html より Orz〜

　9＋8＋6＝23 ですので、円A，円B，円C，円D，円O の半径をそれぞれ a，b，c，a，r とすれば、

　a＋b＋c＝r になり、b＋c＝r−a＝x ，c＋a＝r−b＝y ，a＋b＝r−c＝z とおけば、

　OA＝OD＝BC＝x ，OB＝CD＝y ，OC＝AB＝z ですので、△OAB≡△BCO≡△DOC になります。

　△PEF＝△OEF−△OEP−△OPB＝(OE/OA)(OF/OB)△OAB−(OE/OA)△OAP−(OF/OB)△OPB

　 ＝(OE/OA)(OF/OB)△OAB−(OE/OA)(AP/AB)△OAB−(OF/OB)(PB/AB)△OAB

　 ＝(OE/OA)(OF/OB)△OAB−(OE/OA)(AP/AB)△OAB−(OF/OB)(PB/AB)△OAB

　 ＝(r/x)(r/y)△OAB−(r/x)(a/z)△OAB−(r/y)(b/z)△OAB

　 ＝r｛r/(xy)−a/(xz)−b/(yz)｝△OAB＝｛r/(xyz)｝(rz−ay−bx)△OAB

　 ＝｛r/(xyz)｝｛(a＋b＋c)z−ay−bx｝△OAB＝｛r/(xyz)｝｛a(z−y)＋b(z−x)＋cz｝△OAB

　 ＝｛r/(xyz)｝｛a(b−c)＋b(a−c)＋c(a＋b)｝△OAB＝｛2abr/(xyz)｝△OAB

　 ＝(1/c)｛2abcr/(xyz)｝△OAB

　同様に、△QFG＝(1/a)｛2abcr/(xyz)｝△OBC ，△RGH＝(1/b)｛2abcr/(xyz)｝△OCD であり、

　△OAB≡△BCO≡△DOC より △OAB＝△OBC＝△OCD ですので、

　△PEF：△QFG：△RGH＝1/c：1/a：1/b になります。

　本問では、a＝9 ，b＝8 ，c＝6 ですので、△PEF：△QFG：△RGH＝1/6：1/9：1/8＝12：8：9 です。

*わたしゃ...合同に気づかなかったものだから...大量の計算の山を登るハメに...^^;

PCで...Orz...
cos(角AOB)=x,cos(角BOC)=y,cos(角COD)=z
17^2=14^2+15^2-2*14*15*x・・・x=11/35
14^2=15^2+17^2-2*15*17*y・・・y=53/85
15^2=17^2+14^2-2*14*17*z・・・z=65/119
sin(a)=√(1-(11/35)^2)=4√69/35
sin(b)=√(1-(53/85)^2)=8√69/85
sin(c)=√(1-(65/119)^2)=12√69/119

青:(4√69/35)*(23^2-14*15*((9/17)(23/14)+(8/17)(23/15))
=(4√69/35)*(3312/17)
緑：(√31363/238)*(23^2-15*17*((8/14)(23/15)+(6/14)(23/17))
=(8√69/85)*(1104/7)
黄：(12√69/119)*(23^2-17*14*((6/15)(23/17)+(9/15)(23/14))
=(12√69/119)*(828/5)
So…
△PEF(青)：△QFG(緑)：△RGH(黄)
=(1/35)(3312/17)：(2/85)(1104/7):(3/119)(828/5)
=3312：2*1104：3*828
=552：368：414
=276：184：207
=2^2*3*23：2^3*23：3^2*23
=12：8：9

・友人のもの...

△OAB △OBC △OCDは、辺の長さがすべて14,15,17で合同 面積をSとする
△PEF=(23/14)*(23/15)*S*(9/23)*(16/17)
△QFG=(23/15)*(23/17)*S*(6/23)*(16/14)
△RGH=(23/14)*(23*17)*S*(6/23)*(18/15)
よって、
△PEG：△QFG：△RGH=12：8：9

[スモークマン]

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