18920：嗅覚...とある□ABCDとAB,DBにAとDで接する円とのコラボ...

地下鉄からうろうろしてやっとマーカー・メルクマールの京都タワーんところに出れた...

方向音痴のわたし...

スマートフォンのナヴィの使い方出かけるときに受付女子に講習受けたのに...

すっかり忘れてる...

siriはわたしの滑舌の悪さのせいか相手してくれないのよ...^^;;...

より一層のバージョンアップお願いしまっす ^^;...Orz～

問題18920・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38960292.html#38960292 より Orz～

　四角形ABCDがあり、AB＝AC＝BC＝BD ，BC²－CD²＝BC･CD のとき、∠ACD＝？

　更に、直線ABと頂点Aで接し頂点Dを通る円と辺ACとの交点をEとするとき、∠CDE＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38966766.html より Orz～

　四角形ABCDがあり、AB＝AC＝BC＝BD ，BC²－CD²＝BC･CD のとき、∠ACD＝？

　更に、直線ABと頂点Aで接し頂点Dを通る円と辺ACとの交点をEとするとき、∠CDE＝？

[解答1]

　AB＝AC＝BC＝BD＝a ，CD＝2x とすれば、

　BC²－CD²＝BC･CD より、a²－4x²＝2ax 、4(x/a)²＋2(x/a)－1＝0 、x/a＝(－1＋√5)/4＝cos72ﾟ、

　∠BCD＝72ﾟであり、△ABCは正三角形ですので、∠ACD＝72ﾟ－60ﾟ＝12ﾟです。

　△BCD，△BDA は頂角が ∠CBD，∠DBA の二等辺三角形で、

　∠CBD＋∠DBA＝60ﾟだから、∠CBD/2＋∠DBA/2＝30ﾟになり、

　∠CBD/2＝90ﾟ－72ﾟ＝18ﾟ、∠DBA/2＝12ﾟ、∠BAD＝90ﾟ－12ﾟ＝78ﾟですので、

　∠ADC＝360ﾟ－∠BAD－∠BCD－∠ABC＝360ﾟ－78ﾟ－72ﾟ－60ﾟ＝150ﾟです。

　接弦定理より、∠ADE＝∠BAE＝60ﾟだから、∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝150ﾟ－60ﾟ＝90ﾟです。

[解答2]

　DCの延長上に BC＝CP を満たす点Pをとり、△BCPの外接円を描くと、BC²－CD²＝BC･CD より、

　DB²＝BC²＝CD²＋CD･CP＝DC(DC＋CP)＝DC･DP だから、DBはこの円の接線になり、

　接弦定理より ∠CPB＝∠CBD 、

　また、CB＝CP より ∠CBP＝∠CPB＝∠CBD 、∠BCD＝∠CBP＋∠CPB＝2∠CBD 、

　BC＝BD より ∠BDC＝∠BCD＝2∠CBD 、

　△BCDの内角の和は ∠CBD＋∠BDC＋∠BCD＝180ﾟ、5∠CBD＝180ﾟ、∠CBD＝36ﾟです。

　中心がBで A，D，C を通る円を描けば、

　∠ACD＝∠ABD/2＝(∠ABC－∠CBD)/2＝(60ﾟ－36ﾟ)/2＝12ﾟです。

　中心がBで A，D，C を通る円周上の、直線ACに関してDと反対側に点Qをとれば、

　∠CDA＝180ﾟ－∠AQC＝180ﾟ－∠ABC/2＝180ﾟ－60ﾟ/2＝150ﾟ、

　接弦定理より ∠ADE＝∠BAE＝60ﾟ、∠CDE＝∠CDA－∠ADE＝150ﾟ－60ﾟ＝90ﾟです。

[解答3]　tsuyoshik1942さんのコメントより　∠ACDのみ

　BC上に点Gを ∠DGC＝∠DCBとなるようにとると、△DGC∽△BCD となり ∠CDG＝∠CBD 、

　夾角の等しい三角形の面積比は二辺の乗算比なので、

　△BCD：△DGC：△BGD＝BC²：CD²：BD･BG であり

　△BCD－△DGC＝△BGD より、BC²－CD²＝BD･BG＝BC･BG 、

　一方、条件より、BC²－CD²＝BC･CD 、BC･BG＝BC･CD 、BG＝CD＝DG です。

　△GBDは二等辺三角形、∠BCD＝∠BDC＝2∠CBD 、5∠CBD＝180ﾟ、∠CBD＝36ﾟ、

　∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝2∠CBD－60ﾟ＝2･36ﾟ－60ﾟ＝12ﾟです。

*これは比較的すらっと気づけましたぁ ^^v

∠ACDは...BC^2－CD^2＝BC･CDをBC^2=CD^2+BC*CDから、
等脚台形(底辺と対角線がBCで、残り3辺がCD)から...∠BCD=72°
so...∠ACD=72-60=12°

∠ABD=60-72/2=24°
∠EAD=(90-12)-60=18°
接弦定理より、∠EDB=18°
so...
∠CDE=18+72=90°