18958：不等式の証明...abc=1を満たす正数a,b,c. a/{(a+1)(b+1)}+b/{(b+1)(c+1)}+c/{(c+1)(a+1)}>=3/4...

CMで見かけるこの子が気になってたけど...やっと知りました ^^

「松本穂香」さんなのね ^^♪

問題18958(友人問)

a,b,cをabc=1を満たす正数とする。このとき

a/{(a+1)(b+1)}+b/{(b+1)(c+1)}+c/{(c+1)(a+1)}>=3/4

を証明せよ。

解答

・わたしの...

式を展開すると...

{a(c+1)+b(a+1)+c(b+1)}/{(a+1)(b+1)(c+1)}

=(ac+bz+cb+a+b+c)/{(a+1)(b+1)(c+1)}

={(a+1)(b+1)(c+1)-2}/{(a+1)(b+1)(c+1)}

=1-2/{(a+1)(b+1)(c+1)}

(a+1)(b+1)(c+1) の最小値を考えればいい...

(a+1)(b+1)(c+1)

=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1

=2+a+b+c+ab+bc+ca

>=2+6(abc)(1/3)=8

so...

与式

=1-2/{(a+1)(b+1)(c+1)}

>=1-2/8

=3/4

QED

^^