18960：最小値...円の第一象限に接する直線をx軸に回転してできる円錐の体積...

問題18960・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38968391.html#38968391 より Orz～

　ｘｙ平面上の円 x²＋y²＝3 の第１象限の点での接線とｘ軸とｙ軸で囲まれる直角三角形を、

　ｘ軸の周りに回転してできる円錐の体積を V とするとき、V を最小にする接点の座標は？

　また、V の最小値は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38974672.html より Orz～

[解答1]

　接線の座標軸との交点を(s，0)，(0，t)とすれば、s＞√3 ，t＞√3 で、

　接線とｘ軸とｙ軸で囲まれる直角三角形の面積は、

　(1/2)(√3)√(s²＋t²)＝(1/2)st だから、3(s²＋t²)＝s²t² 、t²(s²－3)＝3s² 、t²＝3s²/(s²－3) です。

　V＝(1/3)πt²s より、V/π＝s³/(s²－3) になります。

　(dV/ds)/π＝｛3s²(s²－3)－s³･2s｝/(s²－3)²＝s²(s²－9)/(s²－3)² だから、s＝3 のとき V は最大になります。

　s＝3 のとき、t²＝3s²/(s²－3)＝9/2 、t＝3/√2 、V＝(1/3)πt²s＝(1/3)π(9/2)･3＝(9/2)π です。

　また、接線の方程式は、x/s＋y/t＝1 、x/3＋y/(3/√2)＝1 、x＋(√2)y＝3 だから、接点は(1，√2)です。

[解答2]

　接点を(a，b)とすれば、a＞0，b＞0，a²＋b²＝3 で、接線は ax＋by＝3 なので、

　接線と座標軸の交点は(3/a，0)，(0，3/b)になり、円錐の底面の半径は 3/b，高さは 3/a 、

　従って、V＝π(3/b)²(3/a)/3＝9π/(ab²) です。

　ここで、相加･相乗平均の関係により、(a²＋b²/2＋b²/2)/3≧³√｛a²(b²/2)(b²/2)｝、

　1≧³√(a²b⁴/4) 、1≧a²b⁴/4 、1≧ab²/2 、1/(ab²)≧1/2 、9π/(ab²)≧9π/2 です。

　等号は a²＝b²/2 のときに成り立ち、

　このとき、b²＝2a² ，a²＋b²＝3 より (a，b)＝(1，√2) です。

　従って、接点の座標は(1，√2) ，V の最小値は 9π/2 です。

*相加相乗が楽でしたか ^^;

接点(a,b)
ax+by=3・・・x/(3/a)+y/(3/b)=1
a^2+b^2=3
V=(3/a)^2*(3/b)*π/3
so...((3-b^2)*b)'=0...b=1の時Maxこのとき, a=√2
このときVはMin
so...V=(9/2)*π

そっか!! x軸の周りで回すから...
接点の座標とVを並べたら...
(1,√2),(9/2)π となるのでしたか♪