18965：証明...xy+yz+zx=1のとき,xz<1/2...

問題18965(友人問)

x,y,zをxy+yz+zx=1　を満たす実数とする。

このときxz<1/2を証明せよ。

また、上限の値1/2を改良することができるか？

解答

・わたしの...

ベクトルの内積で...

(x,y,z)(y,z,x)=xy+yz+zx

=(x^2+y^2+z^2)*cosθ

so...

xy+yz+zx=1<=x^2+y^2+z^2

x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=(1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}=0

x=y=zのときだけ等号成立...

この点を含むx^2+y^2+z^2の大円をxz平面に射影すると、

x^2+y^2+z^2=1よりも小さくなるので...

球:x^2+y^2+z^2=1をxz平面で考えると...

xzの最小値は...xz=kがx^2+z^2=1の円と接するときと考えられるので...

x=z=1/√2のときで...実際はこれよりも小さいわけだから...

Min{xz}<1/2

上の考察から...x=y=zのときの射影でのxz平面での場合が最小になるので...

xy+yz+zx=3xz=3x^2=1

xz=x^2=1/3

so...Min{xz}<=1/3 

と言えるはずね ^^

↑

問題に不備があるようです...Orz...

and...何れにしてもわたしのも不備みたい... ^^; 

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

以下のようになると思いますが，私の勘違いでしょうか．

(x,y,z)=(1,0,1)はxy+yz+zx=1を満たす実数であり，このとき xz=1>1/2．
よって，「xz<1/2」には反例が存在して偽であり，証明は不可能．
1/2は上限ではないので，改良は不可能．

命題xz<1/2が真となるような追加条件を考えてみました．

条件x≦y≦zが付いているなら，xz<1/2は成立します．
[証明]
xz≧1/2であるとすると，x,y,zはすべて同符号．
このとき，0<xy≦xz≦yz (x,y,zがすべて正の時)…[1]または
0<yz≦xz≦xy (x,y,zがすべて負の時)…[2]が成立する．
[1]のとき，xz+yz=1-xy,xz≦yzだから，xz≦(1-xy)/2<1/2.
[2]のとき，xz+xy=1-yz,xz≦xyだから，xz≦(1-yz)/2<1/2. 

また，x≦y≦zの場合，上限の値「1/2」は，これ以上は小さくできません．
[証明]
1/3≦t<1/2の範囲の任意の実数tについて，
「x=y=√(1-2t),z=t/√(1-2t)」…[*]は xy+yz+zx=1,xz=t,x≦y≦zを満たす．
つまり，「1/2より小さいある値uが上限」という命題は，
1/3≦u<1/2のときは，t=uのときの[*]が反例，
u<1/3のときは，t=1/3のときの[*]が反例となり，
いずれの場合も真とはなり得ない．

*巧みな想定式の必然性がよくわからなかったりする...^^;

・鍵コメT様からの解説頂戴 Orz〜☆

「後半の式」は，けっこう自然な考察から得られます．

xy+yz+zx=1,0<x≦y≦zの場合について，
xzを大きくするには，y(x+z)=1-xzを小さくすればよく，
すると，x,zが定まったときはyを極力小さくすることになります．
x≦yが前提だから，y=xの場合を考えることになります．
このとき，z=(1-xy)/(x+y)=(1-x^2)/(2x)となり，xz=(1-x^2)/2です．

結局，xz=tとするなら，2t=1-x^2よりx=√(1-2t)，y=x,z=t/x=t/√(1-2t)で，
y≦zより√(1-2t)≦t/√(1-2t)となって，1/3≦t<1/2も得られます．

*わかりやすくて合点ですばい!!

お気に入りぃ〜♪

[スモークマン]

＞1:27amの鍵コメT様へ ^^
確かに ^^;
xy,yz,zxはいずれも同じようなものなので...xyもyzもzxも満たす上限という意味だとしたらいかがでしょう？...Orz〜

[スモークマン]

＞9:21amの鍵コメT様へ ^^
なるほどぉ ^^☆
後半は...どうしてそんな巧みな式を思いつかれるのかが不可思議 ^^;v
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞1:35amの鍵コメT様へ ^^
なるほど☆
納得でっす ^^v
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v