18996：旧跡...長方形と正三角形...

問題18996・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38972411.html#38972411 より Orz〜

　長方形ABCDの 辺AB上に点Mを 辺BC上に点Nを △DMNが正三角形になるようにとりました。

　AM＝(√30−√6)/2 ，CN＝(√30＋√6)/2 のとき、△MBNの面積は？

　なお、図は正確ではありません。

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38979216.html#38979216 より Orz〜

[解答1]

　AM＝(√30−√6)/2＝m ，CN＝(√30＋√6)/2＝n ，DA＝a ，DC＝c とし、

　複素平面上で、D(0)，M(−a−mi)，N(−n−ci) とすれば、

　(−a−mi)｛cos(π/3)＋i･sin(π/3)｝＝−n−ci 、(a＋mi)(1＋i√3)＝2(n＋ci) 、

　a−m√3＝2n ，m＋a√3＝2c になり、a＝m√3＋2n ，

　2c＝m＋a√3＝m＋(m√3＋2n)√3＝4m＋2n√3 、c＝2m＋n√3 になります。

　△MBN＝(DC−AM)(DA−CN)/2＝(c−m)(a−n)/2＝(2m＋n√3−m)(m√3＋2n−n)/2

　 ＝(m＋n√3)(m√3＋n)/2＝2mn＋(m²＋n²)(√3)/2＝(2m)(2n)/2＋｛(m＋n)²＋(m−n)²｝(√3)/4

　 ＝(√30−√6)(√30＋√6)/2＋｛(√30)²＋(√6)²｝(√3)/4＝12＋9√3 です。


[解答2]

　BM＝mAM ，BN＝nCN とおけば、CD＝(m＋1)AM ，AD＝(n＋1)CN です。

　DM²＝MN²＝ND² だから 三平方の定理より、AD²＋AM²＝BM²＋BN²＝CN²＋CD² 、

　(n＋1)²CN²＋AM²＝m²AM²＋n²CN²＝CN²＋(m＋1)²AM² 、

　(2n＋1)CN²＝(m²−1)AM² ，(2m＋1)AM²＝(n²−1)CN² 、

　(2m＋1)(2n＋1)AM²CN²＝(m²−1)(n²−1)AM²CN² 、

　4mn＋2(m＋n)＋1＝m²n²−(m²＋n²)＋1 、2mn＋2(m＋n)＋1＝m²n²−(m＋n)²＋1 、

　(m＋n)²＋2(m＋n)＋1＝m²n²−2mn＋1 、(m＋n＋1)²＝(mn−1)² 、(mn−1)²−(m＋n＋1)²＝0 、

　(mn＋m＋n)(mn−m−n−2)＝0 、mn＝m＋n＋2 、(m−1)n＝m＋2 です。

　(2n＋1)CN²＝(m²−1)AM² より 2nCN²＝(m²−1)AM²−CN² 、

　2(m−1)nCN²＝(m²−1)(m−1)AM²−(m−1)CN² 、2(m＋2)CN²＝(m²−1)(m−1)AM²−(m−1)CN² 、　

　3(m＋1)CN²＝(m²−1)(m−1)AM² 、3CN²＝(m−1)²AM² 、(m−1)²＝3CN²/AM² 、m−1＝(√3)CN/AM 、

　m＝(√3)CN/AM＋1 、同様に、n＝(√3)AM/CN＋1 になり、

　mn＝｛(√3)CN/AM＋1｝｛(√3)AM/CN＋1｝＝4＋(√3)(AM/CN＋CN/AM)＝4＋(√3)(AM²＋CN²)/(AM･CN)

　 ＝4＋(√3)｛(AM＋CN)²−2AM･CN｝/(AM･CN)＝4＋｛(AM＋CN)²/(AM･CN)−2｝√3 、

　△MBN＝BM･BN/2＝mnAM･CN/2＝AM･CN〔4＋｛(AM＋CN)²/(AM･CN)−2｝√3〕/2

　 ＝2(AM･CN)＋｛(AM＋CN)²/2−(AM･CN)｝√3 です。

　AM＝(√30−√6)/2 ，CN＝(√30＋√6)/2 で、AM＋CN＝√30 ，AM･CN＝24/4＝6 だから、

　△MBN＝2･6＋(30/2−6)√3＝12＋9√3 です。


[解答3]

　Aに関してMと対称な点をP ，Bに関してNと対称な点をQ とすれば、DP＝DM＝DN＝DQ だから、

　P，M，N，Q は D を中心とする円周上にありますので、∠MPN＝∠MQN＝∠MDN/2＝30ﾟ 、

　PB＝BN√3 , QB＝BM√3 、2AM＋BM＝BN√3 , 2CN＋BN＝BM√3 になり、

　2AM＋BM＝(BM√3−2CN)√3 、2AM＋BM＝3BM−2CN√3 、

　BM＝AM＋CN√3 になり、同様に、CM＝CN＋AM√3 、

　△MBN＝BM･BN/2＝(AM＋CN√3)(CN＋AM√3)/2＝2AM･CN＋｛(AM²＋CN²)/2｝√3

　 ＝2AM･CN＋｛(AM＋CN)²/2−AM･CN｝√3 です。

　AM＝(√30−√6)/2 ，CN＝(√30＋√6)/2 で、AM＋CN＝√30 ，AM･CN＝24/4＝6 だから、

　△MBN＝2･6＋(30/2−6)√3＝12＋9√3 です。


[参考]

　∠PDQ＝2∠ADC−∠MDN＝2･90ﾟ−60ﾟ＝120ﾟ なので、△DPQ＝△DMN です。

　PB＝BN√3 , QB＝BM√3 なので、3BM･BN＝PB･QB 、3BM･BN/2＝PB･QB/2 、

　3△BMN＝△BPQ＝四角形DPBQ−△DPQ＝(2△DAM＋2△DCN＋△BMN＋△DMN)−△DPQ 、

　3△BMN＝2△DAM＋2△DCN＋△BMN 、△BMN＝△DAM＋△DCN になります。

*[解答3]に気づきたかったぁ☆

無理やりでしたばい...^^; Orz...

AD=a,CD=b
以下の立式をPCにお願いしてやっとこさ... ^^; Orz...
x=(√30-√6)/2,
y=(√30+√6)/2,
(x/a+y/b)/(1-(x/a)*(y/b))=1/√3, =tan30°
a^2+x^2=b^2+y^2, 
(a-y)(b-x)/2=3(4+3√3)=12+9√3 =△MBN ♪
手計算じゃ無理 ^^;;

[スモークマン]

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