19027：sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5) =？...

問題19027・・・出会いの泉より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? DH++様の解説より Orz〜

sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5) =？

解答

・上記サイトより Orz〜

・DH++様のもの Orz〜

α = cos(2π/5) + i sin(2π/5) とおく。
五次方程式 x^5 = 1 の解は x = 1, α, α^2, α^3, α^4 なので、
恒等式 x^5 - 1 = (x-1) (x-α) (x-α^2) (x-α^3) (x-α^4) が成立する。
これの両辺を x-1 で割ると
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x-α) (x-α^2) (x-α^3) (x-α^4)
これに x=1 を代入して
5 = (1-α) (1-α^2) (1-α^3) (1-α^4)
両辺絶対値を取って
5 = |1-α| |1-α^2| |1-α^3| |1-α^4|
右辺のそれぞれの絶対値の意味を複素数平面上で図形的に考えると
5 = 2sin(π/5) * 2sin(2π/5) * 2sin(3π/5) * 2sin(4π/5)
すなわち
sin(π/5) sin(2π/5) sin(3π/5) sin(4π/5) = 5/16

*√{(1-cosθ)^2+sin^2θ}

=√(2-2cosθ)

=√{2-2*(1-2sin^2(θ/2))}

=2|sin(θ/2)|

だからですのねぇ ^^

・別解...

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12108056777 より 引用 Orz〜

・ind********様のもの Orz〜

a=π/5 とします。

θ=a,2a,3a,4a のとき、いずれも sin5θ=0 を満たします。 ・・・①

sin5θ=sin(3θ+2θ)
=sin3θcos2θ+cos3θsin2θ
={3sinθ-4(sinθ)^3}{1-2(sinθ)^2}+{4(cosθ)^3-3cosθ}・2sinθcosθ
=sinθ・{3-4(sinθ)^2}{1-2(sinθ)^2}+{4(cosθ)^2-3}・2sinθ(cosθ)^2
=sinθ・[{3-4(sinθ)^2}{1-2(sinθ)^2}+2・{1-4(sinθ)^2}{1-(sinθ)^2}]
=sinθ・[3-10(sinθ)^2+8(sinθ)^4+2・{1-5(sinθ)^2+4(sinθ)^4}]
=sinθ・{5-20(sinθ)^2+16(sinθ)^4}

f(x)=x・(5-20x^2+16x^4) とすると
①より θ=a,2a,3a,4a のとき f(sinθ)=0
つまり x=sina,sin2a,sin3a,sin4a は、方程式 f(x)=0 の解となります。

これらは 0 ではないので
x=sina,sin2a,sin3a,sin4a は、4次方程式 16x^4-20x^2+5=0 の解となります。

解と係数の関係より
sina・sin2a・sin3a・sin4a
=sin(π/5)・sin(2π/5)・sin(3π/5)・sin(4π/5)=5/16。■

と求まります。

*いずれがアヤメかカキツバタ🌸

ま、なかなか思いつけそうにないですばってん ^^;