19042：当たりクジと期待値...

問題19042・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38975773.html#38975773 より Orz～

　３本の当たり籤を含む 42本の籤から引いた籤は戻さないで無作為に１本ずつ引き続けます。

　(1) 最初の当たり籤を引いたとき籤引きを終えるものとすれば引く籤の本数の期待値は？

　(2) 当たり籤を全部引いたとき籤引きを終えるものとすれば引く籤の本数の期待値は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38981511.html より Orz～

[解答1]

　最初の当たり籤を引いたときの籤の本数Ａとすれば、Ａと確率の関係は、

　A＝1 …… 3/42＝3･41･40/(42･41･40)
　A＝2 …… (39/42)(3/41)＝3･40･39/(42･41･40)
　A＝3 …… (39/42)(38/41)(3/40)＝3･39･38/(42･41･40)
　A＝4 …… (39/42)(38/41)(37/40)(3/39)＝3･38･37/(42･41･40)
　A＝5 …… (39/42)(38/41)(37/40)(36/39)(3/38)＝3･37･36/(42･41･40)
　A＝6 …… (39/42)(38/41)(37/40)(36/39)(35/38)(3/37)＝3･36･35/(42･41･40)
　　　……………………

　と続き、k＝1，2，3，……，40 において、A＝k の確率は 3(42－k)(41－k)/(42･41･40) です。

　Σを k＝1，2，3，……，40 のときの和を表すものとすれば、

　Ａの期待値は Σ3k(42－k)(41－k)/(42･41･40)＝6｛Σk(42－k)(41－k)/2｝/(42･41･40) 、

　ここで、k･(42－k)(41－k)/2 は、43以下の自然数から

　ｋ以下の１個と (k＋1) と (k＋2)以上のうちの２個を選ぶ場合の数であり、

　k＝1，2，3，……，40 として加えれば Σk(42－k)(41－k)/2＝₄₃Ｃ₄ になります。

　よって、Ａの期待値は 6･₄₃Ｃ₄/(42･41･40)＝6･43･42･41･40/(4!･42･41･40)＝43/4 です。

　次に、当たり籤を全部引いたときの籤の本数Ｂとします。

　42本の籤をすべて引くものとし、引いた順に全部並べる場合の数は、42! 通りありますが、

　その並び方と逆順の並べ方を対応させれば、A＝k と B＝43－k が 1対1 に対応しますので、

　Ｂの期待値は 43－43/4＝129/4 になります。

[解答2]

　42本の籤をすべて引くものとし、引いた順に全部並べるものとして、

　最初の当たり籤が何番目にあり、最後の当たり籤が何番目にあるかを求めます。

　最初の当たり籤をＡ，次の当たり籤をＢ，最後の当たり籤をＣとして、

　どの外れ籤についても、

　Ａの前の確率，ＡＢの間の確率，ＢＣの間の確率，Ｃの後の確率　が何れも 1/4 だから、

　39本の外れ籤の本数の期待値(平均値)は、

　Ａの前の本数，ＡＢの間の本数，ＢＣの間の本数，Ｃの後の本数　が何れも 39/4 です。

　従って、Ａは 39/4＋1＝43/4 番目、Ｃは 3･43/4＝129/4 番目です。

*発想が見事ですね♪

以前、類似問で某様よりご指導いただいてたのを思い出せたから解けたようなものですが...^^;v

(1)1/(3/42)=14
(2)
例えば赤玉3個と白玉39個を並べたとき、3個目の赤は平均して何番目になるかという問題と同値...
白は赤3個と自分自身を含めて、1～4番目に並ぶ確率はいずれも1/4
最も右側の赤にとって、自分より左側にある玉は
# 赤2個 or # 赤2個白1個の比率になってる白玉で...39*(3/4)
so...
最後の3個目の赤玉を加えて...
2+39:(3/4)+1=129/4

類題を考えてなかったら解けなかったと思いますばい ^^;...
クーポンコレクター問題に似てる気がするけど違うのですよね...?