19084：10!=a!b!...

問題19084・・・http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/factorial-of-10 より 引用 Orz〜

10!=a!*b!

を満たす正の整数 a,b, a<=b を求めよ。

解答

・上記サイトより Orz〜

(a,b)=(1,10),(6,7)

*しかも...

「ここでいう「非自明」というのは、たとえば n!=n!1!=n!0! n ! = n ! 1 ! = n ! 0 !  なる式は除くという意味です。また

(n!)!=n!(n!−1)!

という式も一般に成り立ちますが、こういうパターンも除くことにします。」

*nが素数はない...

12以上...

素数11があるから...11!

12は2!3!

so...(p+1)! は...p!*(p+1)

so...p+1=k!

p=k!-1...5,23,119

so...6!=5!*3!

24!=23!*4!

ってのもあるから...これも自明のパターンとして考えるんでしょね ^^

となると...

(p+2)!...

p!*(p+1)(p+2)・・・(p+1)(p+2)は必ずどちらかが3以上の素数以外の奇数だから9,15,21,25,...

and...p+1,p+2はいずれも素数ではないので...pよりも小さい素数しか含まれない数m

このとき、(p+1)(p+2)=m!

p+1=ab

p+2=cd

p=7,13,19,...

ab=8=2*4

cd=3^2...5がない

p=13

ab=14=2*7

cd=15=3*5...2,3,4,がない...

p=19

ab=20=2^2*5

cd=21=3*7...3,4がない...

同様に、

(p+3)!...

p!*(p+1)(p+2)(p+3)・・・(p+1)(p+2)(p+3)=m!

p=7,13,19,...
p=7
8=2^3
9=3^2
10=2*5...オーケー

p=13
14=2*7
15=3*5
16=2^4...少なくとも3が足りない...

p=19
20=2^2*5
21=3*7
22=2*11...少なくとも3が足りない...

こんなことでは証明は遠いわねぇ...^^;