19118：最大公約数...基本 ^^

カレンダーの写真を写メるなり ^^

僥倖としか言えないような幻想的シャッターチャンスがあるものねぇ♪

問題19118・・・http://task.naganoblog.jp/e2362946.html より引用 Orz～

解答

・わたしの...

(1)

5n^2+9-5(n^2+1)=4

n^2+1 と 4の最大公約数は...n=1 のときの 2

(2)

n^2+1=2*s

5n^2+9=2*t

s,tはs=t=1のとき、2*14=28 で平方数でなく、

s,tは互いに素なのだから、平方数になれない ^^

↑

いい加減に過ぎました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

(1) 「n=1のときの2」は意味不明です．
当然ながら，最大公約数は，nによって値が変化する可能性があります．

n^2+1と4の最大公約数を求めればよい．
n^2を4で割った余りは，偶数nに対して0，奇数nに対して1であることから，
求める最大公約数は，
nが偶数のとき1，nが奇数のとき2．

・・・そういうことでしたのね ^^;v

(2) 言われる意味がわかりません．

2つの正の整数n^2+1,5n^2+9は，その最大公約数が1または2だから，
その積が整数の2乗であるとき，
n^2+1,5n^2+9は，「ともに整数の2乗」または「ともに整数の2乗の2倍」．・・・了解 ^^;☆

ここで，「ともに整数の2乗」の場合，n^2+1が整数の2乗であり，
連続する2つの正の整数n^2,n^2+1がともに完全平方数となって不適．
「ともに整数の2乗の2倍」の場合，nは奇数であり，n=2k-1と表される．
このとき，5n^2+9=20k^2-20k+14であり，
その半分である10k^2-10k+7が完全平方数となるはずだが，
一の位が7である完全平方数はないので不適．

以上より，(n^2+1)(5n^2+9)は整数の2乗にはなり得ない．

*鮮やかですね♪