19114：平方根の小数部分√N-[√N]...

甘い香りの花のなる木🌸

問題19114・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38987820.html#38987820 より Orz～

　Ｎを 10000未満の自然数として、√N の小数部分 √N－[√N] が 1/72 にいちばん近いＮの値は？

　また、√N の小数部分 √N－[√N] が 1/72 に２番目に近いＮの値は？

　なお、「近い」は、差の絶対値が小さいという意味です。

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38993160.html より Orz～

　[√N]＝n ，N＝n²＋k とおくと、0≦k≦2n で、N＜10000 より n＜100 です。

　y＝√x のグラフにおいて、

　(n²，n) と ((n＋1)²，n＋1) を通る直線は y－n＝(x－n²)/(2n＋1) 、y＝(x＋n²＋n)/(2n＋1) で、

　x＝n²＋k のとき y＝n＋k/(2n＋1) です。

　y'＝1/(2√x) ですので、(n²，n) における接線は y－n＝(x－n²)/(2n) 、y＝(x＋n²)/(2n) で、

　x＝n²＋k のとき y＝n＋k/(2n) です。

　よって、k＞0 であれば、n＋k/(2n＋1)＜√(n²＋k)＜n＋k/(2n) 、k/(2n＋1)＜√(n²＋k)－n＜k/(2n) 、

　1/(2n/k＋1/k)＜√(n²＋k)－n＜1/(2n/k) です。

　2n/k＋1/k ，2n/k が 72 に近い(n，k)を n＜100 の範囲で書けば、

　 (n，k)＝(36，1) のとき 1/73＜√1297－36＜1/72 、

　 (n，k)＝(35，1) のとき 1/71＜√1226－35＜1/70 、

　 (n，k)＝(72，2) のとき 1/72．5＜√5186－72＜1/72 、

　 (n，k)＝(71，2) のとき 1/71．5＜√5043－71＜1/71 であり、

　 √1297－36＝1/(√1297＋36) ，72＋1/73＜√1297＋36＜72＋1/72 、

　 √1226－35＝1/(√1226＋35) ，70＋1/71＜√1226＋35＜70＋1/70 、

　 √5186－72＝2/(√5186＋72) ，72＋1/145＜(√5186＋72)/2＜72＋1/144 、

　 √5043－71＝2/(√5043＋71) ，71＋1/143＜(√5043＋71)/2＜71＋1/142 であるので、

　小数部分が 1/72 にいちばん近いのは √5186 ，２番目に近いのは √1297 で、

　いちばん近いのは N＝5186 ，２番目に近いのは N＝1297 のときです。

*アバウトに解きましたぁ ^^;

いまいち説得力に欠けますが...^^;
(m+1/72)^2=m^2+2m/72+1/72^2
N=(m+1/72)^2 のときが差は0
m^2+2m/72が正の整数(m+1/72<=100)になるとき...を考える...
so...m=36
N=36^2+1=1297 ♪
m=72
N=72^2+2=5186
√NはNが大きい方が傾きは小さくなるので...
差がMinのときのN=5186で、次がN=1297 のときですね ^^

実際に...
1/72-((5186)^(1/2)-72)=1.33933...x10^(-6)
1/72-((1297^(1/2)-36)=2.67815...x10^(-6)