19118：整数問...(a+b)^2-ab=2019

初めて訪問...思ってたところと場所が随分違ってたわ ^^;

問題19118(某サイト掲示板より みかんさん提示問 Orz〜)

(a+b)^2-ab=2019　

となる整数の組（ただしa>b）を求めなさい。

解答

・わたしの...

a+b>=2√(ab)

so...

4ab-ab=3ab<2019

ab<673

2019<(a+b)^2<2019+673=2692

so...

√2019=44.9...=45<=a+b<√2692=51.8...

ab<=672...b^2<√672=25.9...

a+b<=51

mod 4 で...a,bともa≡b≡1

(a+b)^2=50^2,46^2

a+b=50...

29-21

33-17・・・ありうる

37-13・・・ありうる

41-9

45-5

49-1

a+b=46...

25-21

29-17

33-13

37-9

41-5

45-1

なし

so...

(33+17)^2-33*17=1939...だめ

(37+13)^2-37*13=2019 ビンゴ♪

so...

(a,b)=(37,13) ね ^^

↑

不完全 ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「整数の組(ただしa>b)」ということなら，解は
(a,b)=(-13,-37),(13,-50),(37,-50),(37,13),(50,-37),(50,-13)
となります．

a^2+ab+b^2=(a+b)^2+(a+b)(-a)+(-a)^2なので，
解(a,b)から，解(a+b,-a)を生成することができるのがポイントです．

*なるほどぉ〜面白いですね♪

(13,57)→(50,-13)→(37,-50)→(-13,-37)→(-50,13)→(-37,50)→(13,37)

というループになるんですのねぇ☆

(a,b)-(a+b,-a)-(b,-a-b)-(-a.-b)-(-a-b,a)-(-b,a+b)-(a,b) だからか ^^;v

[スモークマン]

＞1:56amの鍵コメT様へ ^^
そっか ^^;
貴殿の示された恒等式...考えたこともなかったけど...面白いです☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v