19128：証明...tan1°は無理数...

我が家でなったブルーベリースージー^^

問題19128(友人問)

(1) tan1°が無理数であることを示せ。

(2) cos1° が無理数であることを示せ。

解答

どこかの入試問題にありましたよね ^^

・わたしの...

(1)

tanの和公式から

tan1が無理数でないなら、

tan(1+1)=2tan1/(1-(tan1)^2)も無理数でなく...

tan30°も無理数で無くなるが、実際は1/√3 なので、tan1°は無理数。

(2)

cos1が無理数でなければ、

cosの和公式から...

cos2=2(cos1)^2-1も無理数でなく...

cos30°も無理数でなくなるが、実際は√3/2なので、cos1°は無理数。

↑

後半では...cos30°は出てこないのでありましたわ...^^; Orz...

↓

・友人から届いたもの...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2)について，「cosの和公式」というのが加法定理のことだとすれば，
説明としては少し不完全な感はありますが，
cosの加法定理の帰結として得られる次の内容を指すとすれば，
tanの場合と類似の示し方で正しくなります．

次のように帰納的に定まるチェビシェフの多項式T[n](x)
T[0](x)=1,T[1](x)=x,T[n+1](x)=2xT[n](x)-T[n-1](x)
は，すべて整数係数の多項式であり，T[n](cosθ)=cos(nθ)となります．
(数学的帰納法で示されます．)

cos1°が有理数であるとすれば，T[30](cos1°)も有理数であるはずで，
T[30](cos1°)=cos30°=(√3)/2 (無理数)と矛盾します．

また，チェビシェフの多項式までは持ち出さなくても，
「cos5θ=cos(3θ+2θ)=cos3θcos2θ-sin3θsin2θ
=(4(cosθ)^3-3cosθ)(2(cosθ)^2-1)-(3sinθ-4(sinθ)^3)*2sinθcosθ
=(4(cosθ)^3-3cosθ)(2(cosθ)^2-1)-(3-4(sinθ)^2)*2cosθ(sinθ)^2
=(4(cosθ)^3-3cosθ)(2(cosθ)^2-1)-(4(cosθ)^2-1)*2cosθ(1-(cosθ)^2)
だから，cosθが有理数であればcos5θは有理数」
であることを明らかにすれば，
cos1°が有理数である仮定の下で，
cos5°，cos10°，cos30°が順に有理数となって矛盾が得られます．

*cos10°は2倍角で, cos30°はcos 5°と cos 10°から5倍角でということですね ^^

sin91°が無理数も...sin91°=cos1°から言えますわね ^^

[スモークマン]

↑
友人から届いたものをアップしました ^^

[スモークマン]

＞11:43pmの鍵コメT様へ ^^
なるほどでっす ☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v