19129：13x-31y=kのとき、x^2+y^2が最小になるとき,4x-12y=1だった.k=?

母の日だったのね...息子が食事に招いてくれました♪

問題19129・・・http://www.phoenix-c.or.jp/~tokioka/tokioka_mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

1/√(5^2+12^2)

so...

x^2+y^2=1/(5^2+12^2)

2x+2y=1/13^2

5x-12y=1

12x+12y=6/13^2

17x=(6+13^2)/13^2=175/169

x=175/(169*17)

y=(175*5-169*17)/(169*17*12)=-333/5746

so...

13x-31y=14873/5746

面倒ぅ...^^;

↑

x,yは整数なのでした...^^; Orz...

・再考...

5x-12y=1 を満たすx,yで、x^2+y^2が最小...

(x,y)=(12m+5,5m+2)

(5,2)

(-7,-3),...

x=5,y=2 のとき...

so...

13x-31y=13*5-31*2=3=k

でしたか ^^

↑

まだ間違ってます ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「5x-12y=1を満たすx,yの中でx^2+y^2を最小にする」のではなく，
「13x-31y=kを満たすx,yの中でx^2+y^2を最小にする」問題です．

実際，k=3であれば，13x-31y=3となる整数(x,y)の中でx^2+y^2を
最小にする(x,y)は，(x,y)=(5,2)であり，条件5x-12y=1は成り立ちますが，
k=2のときも，13x-31y=2となる整数(x,y)の中で，
x^2+y^2を最小にする(x,y)は，(x,y)=(-7,-3)であり，条件は成立します．

5x-12y=1を満たす整数x,yは，
(x,y)=(12m+5,5m+2).
m=0,-1のときは，上記のように，
「13x-31y=13(12m+5)-31(5m+2)=m+3を満たす整数x,yのうちで
x^2+y^2を最小にするのは(x,y)=(12m+5,5m+2)」となる．

m≦-2のとき，
(x,y)=(12m+5,5m+2)はx≦-19,y≦-8となり，
xに31を足し，yに13を足した方がx^2+y^2は小さくなる．
つまり，k≦1のときは，13x-31y=kを満たす整数x,yでx^2+y^2を最小に
するものは，5x-12y=1を満たさない．

m≧1のとき，
(x,y)=(12m+5,5m+2)はx≧17,y≧7となり，
xから31を引き，yから13を引いた方がx^2+y^2は小さくなる．
つまり，k≧4のときは，13x-31y=kを満たす整数x,yでx^2+y^2を最小に
するものは，5x-12y=1を満たさない．

以上より，求めるkは，k=2,3. 

*場合分けが上手すぎます ^^;v

[スモークマン]

＞9:34pmの鍵コメT様へ ^^
整数...^^;;
再考しまっす...Orz...

[スモークマン]

↑
再考しました ^^;v

[スモークマン]

＞11:40pmの鍵コメT様へ ^^
ややこしい問題でしたのねぇ ^^;
難しいわ ^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v