19131：△の内心と外心を求める...

問題19131(wkf*h0*6様提示問)

A=(2,0),B=(-1,Sqrt[3]),C=(0,0) の時
三角形ABC の内心I　と　外心O　を求めて下さい。

解答

・わたしの...

外心O

直線BC：y=-√3*x

BCの中点：(-1/2,√3/2)を通るBCに垂直な直線：y-√3/2=(1/√3)*(x+1/2)

外心Oは、これと直線x=(2-1)/2=1/2との交点

so...

y=√3/2+√3/3=5√3/6

so...

外心O：(1/2, 5√3/6)

内心I：(p.q)

直線AB：y=√3/3*(x-2)・・・√3/3*x-y-2√3/3=0

直線BC：√3*x+y=0

|(√3/3)*p-q-2√3/3|/√((√3/3)^2+1)=|√3*p+q|/√(3+1)=q>0

((√3/3)*p-q-2√3/3)^2/(4/3)=(√3*p+q)^2/4=q^2,q>0

PCにお願いして...Orz

p=1/2+√3/2, q=3/2+√3/2

so...

内心I：(1/2+√3/2,3/2+√3/2)

ですね ^^

もっと簡単に求められるのかいなぁ...?

↑

間違ってました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜☆

BCの垂直二等分線y-(√3)/2=(1/√3)*(x+1/2)で正しいですが，
ACの垂直二等分線はx=(2+0)/2=1であり，
外心Oは，これらの交点であり，(1,√3)です．
また，内心の計算の途中で，直線ABの傾きを(√3)/3としているのは誤りで，
正しい傾きは-(√3)/3です．

次のようにできます．

三角形ABCは，CA=CB=2の二等辺三角形だから，
三角形全体は，Cを通るABの垂線y=(√3)xについて対称であり，
外心O，内心Iはともにy=(√3)x上にある．

Oは，ACの垂直二等分線x=1上にあるから，O(1,√3).

AB=2√3だから，面積比は△IAB:△IBC:△ICA=√3:1:1である．
ABの中点をMとすると，M(1/2,(√3)/2)であり．
△CAI:△MAI=2:√3だから，IはCMを2:√3に内分する．
よって，Iの座標は，Mの座標を2/(2+√3)倍，つまり2(2-√3)倍したもので，
I(2-√3,2√3-3). 

*合点!!

お気に入りぃ〜^^♪

[スモークマン]

＞0:42amの鍵コメT様へ ^^
そっかぁ!!
二等辺三角形にすら気づいてませんでしたわ ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v