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新緑の紅葉も美し☘
x，y，z のすべてが整数である点(x，y，z)を格子点といいます。
球面 x2＋y2＋z2＝172 の格子点のうち、3x＋2y＋z を最大にする格子点(x，y，z)＝？ 解答
上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38995988.html より Orz〜
x2＋y2＋z2＝172 で、3x＋2y＋z を最大にするので、x≧y≧z≧0 としてよいことになります。
コーシー･シュワルツの不等式により、(3x＋2y＋z)2≦(32＋22＋12)(x2＋y2＋z2) 、 (3x＋2y＋z)2≦(32＋22＋12)(x2＋y2＋z2)＝14･172＝4046 、|3x＋2y＋z|≦63 です。 3x＋2y＋z＝k とすれば、|k|≦63 で、z＝k−3x−2y 、x2＋y2＋(k−3x−2y)2＝172 、 10x2＋12xy＋5y2−6kx−4ky＋k2＝289 、50x2＋60xy＋25y2−30kx−20ky＋5k2＝1445 、 25y2＋10(6x−2k)y＋(6x−2k)2＋14x2−6kx＋k2＝1445 、(5y＋6x−2k)2＝1445−k2＋6kx−14x2 、 よって、1445−k2＋6kx−14x2 は平方数で、 1445−k2＋6kx−14x2≧0 より ｛3k−√(20230−5k2)｝/14≦x≦｛3k＋√(20230−5k2)｝/14 です。 k＝63 のとき、(189−√385)/14≦x≦(189＋√385)/14 、13≦x≦14 、 1445−k2＋6kx−14x2＝−2524＋378x−14x2 は x＝13，14 のとき 24 で平方数ではありません。 k＝62 のとき、(186−√1010)/14≦x≦(186＋√1010)/14 、12≦x≦15 、 1445−k2＋6kx−14x2＝−2399＋372x−14x2 は x＝12，13，14，15 のとき 順に、 49，71，65，31 であり、平方数になるのは、x＝12 のときの 49 だけです。 (5y＋6x−2k)2＝1445−k2＋6kx−14x2 より、(5y＋72−124)2＝49 、5y＝52±7＝59，45 、y＝9 、 3x＋2y＋z＝k より 3･12＋2･9＋z＝62 、z＝8 、(x，y，z)＝(12，9，8) です。 *わたしゃ...後半はPC頼りでしたわ ^^;
3x+2y+z=k>0
原点からの距離=k/√(3^2+2^2+1^2)=k/√14 so... 0<k/√14<=17・・・k<=17√14=63.6... so... x^2+y^2+z^2=17^2 3x+2y+z=63,62,61,... ここからは...PC頼りでした...^^; Orz... x^2+y^2+z^2=17^2,3x+2y+z=63・・・整数解なし x^2+y^2+z^2=17^2,3x+2y+z=62・・・(x,y,z)=(12,9,8) ・友人からのもの...
xが球面上の点であると-xも球面上であるがw=3x+2y+zの最大を考えるから
x,y,z>=0を考えればよい (a,b,c)が球面上だと入れかえたものも解であるが、wの係数を考えてx>=y>=zとしてよい このときxは10〜17である mod 4で(2k)^2≡0 (2k+1)^2≡1だからx,y,zのうち偶数2つ、奇数1つである y^2+z^2=17^2-x^2 フェルマーの2平方和定理（nがx^2+y^2と表されるための必要十分条件は nを素因数分解したとき4k+3型の素因の指数がすべて偶数。0もOK） ・・・知識は武器ね☆
よりxに10〜17を代入計算して該当はx=12,15,17 x=12のときy^2+z^2=5*29=(1^2+2^2)(2^2+5^2)
(1*2+2*5)^2+(1*5-2*2)^2=12^2+1^2 (1*2-2*5)^2+(1*5+2*2)^2=8^2+9^2 x=15 のときy^2+z^2=64=2^6=8^2+0^2 x=17のとき y^2+z^2=0=0^2+0^2 該当は(x，y，z)=(12,12,1)(12,9,8)(15,8,0)(17,0,0)の4つで wが最大は(12,9,8)のときで62 |
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やどかりさんの解答がアップされました♪
2019/5/21(火) 午前 0:21 [ スモークマン ]